Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Desgranando la complejidad

Mi charla TEDx sobre la emergencia de los sistemas complejos a partir de reglas simples, tema que me fascina.

enero 7, 2011 Posted by | física, matemática, otros | 1 comentario

Planilandia e hiperesferas (II)

La historia anterior de Planilandia nos ha permitido entender como una superficie aparentemente “plana” para sus habitantes, puede tener una curvatura en un espacio de mayor dimensión. Dependiendo del tipo de curvatura podríamos encontrar las siguientes formas (sigo utilizando este enlace de referencia):

– Superficie de curvatura nula. Un plano infinitamente extenso; una cinta de Mobius; un toro. En los dos últimos casos Planilandia es finita. Espacio “euclideo”.
– Superficie de curvatura positiva: una esfera. No existen paralelas. El triángulo suma más de 180º.
– Superficie de curvatura negativa: un hiperboloide; un circulo de Poincaré. El triangulo suma menos de 180º.

Ahora estamos más preparados para imaginar cual podría ser nuestro caso en nuestro mundo de 3 dimensiones. Debemos tomar la hipótesis de que nuestro espacio de 3 dimensiones podria estar sumergido en un espacio de más dimensiones. Tal vez 4, 5, o más. Las teorías físicas así lo sugieren, ya que determinadas teorías de unificación solo encajan en espacios de dimensión superior (véase el excelente libro Hiperespacio de Michio Kaku). De momento podemos trabajar con el espacio de 4 dimensiones. Ojo, no intentemos imaginar el espacio de 4 dimensiones, esta fuera de nuestra capacidad perceptiva (aunque algunos dicen que si pueden).

Siguiendo la analogía geométrica de Planilandia, nuestro espacio de 3 dimensiones podría tener curvatura nula, positiva o negativa.

– Espacio plano R3: curvatura nula (espacio euclideo). Extensión infinita.
– Espacio plano T3: curvatura nula, hipertoro. Extensión finita.
– Espacio plano K3: curvatura nula, botella de Klein. Extensión finita.
– Espacio hiperbólico H3: curvatura negativa, extensión infinita.
– Hiperesfera S3: curvatura positiva, extensión finita.

En el espacio R3 si navegamos en cualquier dirección nunca regresaremos al punto de partida. En el espacio T3 de un hipertoro podemos pensar en la analogía de la pantalla cuadrada de un videojuego: si salimos por un borde, entramos por el borde opuesto (es como si viéramos nuestro universo repetirse de manera indefinida a modo de espejo). En el espacio K3 vemos algo similar al anterior, pero cada vez que cruzamos la frontera se invierten las direcciones.

La hiperesfera S3 tambien llamada  3-esfera responde a la ecuación (x2 + y2 + z2 + w2 = r2) y debemos recordar que estamos describiendo un espacio de dimensión 3 dentro de un hiperespacio de dimensión 4. Si nuestro espacio es una hiperesfera, podríamos volar en una dirección y regresaríamos por la opuesta, al igual que sucedía en la Planilandia esférica. Una hiperesfera no es una bola flotando en el espacio, es un espacio de 3 dimensiones con curvatura. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos, se cortarán a cierta distancia debido a la curvatura del espacio. En este caso el universo es además finito (como lo era la Planilandia esfera).

Las siguientes imágenes muestran una divertida imagen de un universo con forma de hipertoro (izquierda) y botella de Klein (derecha) que responden a espacios planos.
Véase el documento completo aqui: http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/sos/

3t 3k

¿Qué forma tiene nuestro universo? Medir la curvatura global del espacio es complicado, podemos conocer la curvatura local pero no sabemos a ciencia cierta cual es la forma global del espacio. Sin embargo las ultimas pistas de los cosmólogos indican que el espacio es prácticamente plano (curvatura nula) y con velocidad de expansión ligeramente acelerada. Si esto es así y la velocidad de expansión aumenta, el futuro del Universo será la “muerte térmica” ya que la expansión terminará desconectando toda interacción entre la materia, desvaneciéndose en una oscuridad infinita. Parece un final sin sentido, y personalmente me gustaría más un modelo de “big crunch” donde el Universo entero se reunifica y colapsa para formar, tal vez, la semilla de un nuevo Universo. Pero las mediciones no dicen eso de momento…

big_crunch

febrero 21, 2009 Posted by | matemática | Deja un comentario

Planilandia e hiperesferas (I)

En 1884 Edwin Abbott publicó Flatland (Planilandia). Concebido como sátira a la jerarquía victoriana de la época, tambien cuenta una bonita historia sobre las dimensiones.

pacman1

Planilandia es un mundo de dos dimensiones donde sus habitantes sólo conciben dos direcciones principales: adelante/atrás e izquierda/derecha. El concepto arriba/abajo no existe. Aunque nos imaginemos el mundo de Planilandia desde arriba con sus figurillas parecidas a los dibujos en un papel, sus habitantes solo “ven” las fronteras de dicho objeto. Por ejemplo, una circunferencia en Planilandia se observa como un segmento que presenta siempre la misma forma visto alrededor. En Planilandia los seres no pueden tener tubo digestivo con entrada y salida como nosotros porque les separaría en dos mitades desconectadas.

El protagonista de Planilandia, el señor Cuadrado, recibe  una visita de “Esfera”, una entidad desconocida en Planilandia que dice provenir de un mundo de 3 dimensiones. El señor Cuadrado no puede captar la esencia de Esfera, solo puede observar su intersección con el espacio de dos dimensiones de Planilandia: circunferencias. Según Esfera se desplaza y mueve, las circunferencias van cambiando de tamaño, incluso a veces desaparecen y aparecen en otro lugar, algo que el señor Cuadrado nunca había visto antes. Pero el señor Cuadrado es perspicaz y averigua correctamente que el mundo del que proviene Esfera tiene más dimensiones que el suyo y por lo tanto pueden producirse estos fenómenos, inexplicables para el resto de seres de Planilandia. Una de las veces Esfera agarra a Cuadrado y le ofrece un “vuelo” por la tercera dimensión. Los habitantes de Planilandia ven a Cuadrado desaparecer y aparecer misteriosamente en otro lugar mientras Cuadrado se recupera del mareo.

Esta experiencia hizo al señor Cuadrado pensar si podría suceder que su mundo estuviera inmerso en espacios de mayor dimensión. Soñaba frecuentemente con un mundo de una dimensión: Linealandia. En ese mundo de una sola dimensión, los seres vivos solo entendían la dirección adelante/atrás. Pero esa linea podría extenderse de manera infinita o curvarse en círculo. ¿Podrían los habitantes de Linealandia darse cuenta? Claro. Si la línea fuera circular un habitante de Linealandia podría dar la vuelta completa y volver al mismo punto de partida.

De igual forma, el señor Cuadrado piensa si Planilandia podría estar “curvado” en un espacio con una dimensión extra. Pero este pensamiento se considera herético en Planilandia y el señor Cuadrado es encarcelado…

homero3dVeamos ahora que investigación podría realizar Cuadrado en su suposición de que Planilandia reside en un espacio de 3 dimensiones. Cuadrado no tiene ninguna manera de entender la tercera dimensión pero sabe que si Planilandia se curva de cierta manera en sí mismo como el mundo circular de Linealandia, podría tomar una dirección y volver por la dirección opuesta al punto original. Cuadrado, como buen matemático, deduce que sumando los ángulos de un triangulo puede calcular la curvatura de Planilandia. Si la suma da 180º será curvatura nula, mayor de 180º para curvatura positiva y menor para curvatura negativa (véase mi otra entrada).

Nosotros podemos suponer Planilandia como un plano de dos dimensiones infinitamente extenso (curvatura cero) o tal vez como una esfera (curvatura positiva). El señor Cuadrado no puede imaginar lo que nosotros imaginamos, ya que él está restringido a su percepción de 2 dimensiones, pero si su mundo es realmente esférico podrá dar la vuelta andando en cualquier dirección. Si su mundo es plano (curvatura cero) nunca regresará al punto de partida.

Se cuenta que el señor Cuadrado se puso en marcha en su demostración de que su mundo tenía curvatura positiva y volvería al punto de origen simplemente andando en línea recta. Cuando volvió todos sus amigos se quedaron asombrados, el señor Cuadrado había quedado invertido de derecha a izquierda como si fuera su imagen en el espejo. ¿Qué forma podría tener Planilandia en el espacio de 3 dimensiones para hacer eso al señor Cuadrado?

cinta-de-mobius1

febrero 16, 2009 Posted by | matemática | 1 comentario

El quinto postulado

pitagorasTodos conocemos el teorema de Pitágoras. Nos lo enseñan en la escuela hasta que nos lo sabemos de memoria: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Sin embargo esto es solo la punta del iceberg de una historia más interesante.

Todo comienza con Euclides y su obra Los Elementos en la cual se exponen una serie de postulados formales geométricos, lo que más tarde llamaremos “geometría euclidiana“. La geometría euclidiana es la geometría que todos intuimos de forma natural en el plano, con axiomas del tipo: “entre dos puntos solo existe una recta”. Los postulados de Euclides representan los axiomas fundamentales a partir de los cuales se puede construir cualquier teorema geométrico.

El quinto postulado de Euclides era un poco más complicado, decía algo así como:

angulos1“Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.”

Que puede hacerse equivalente a una forma más sencilla:

“Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.”

A primera vista esto es evidente, pero durante siglos se mantuvo una pregunta en el aire: ¿era el quinto postulado realmente una verdad evidente (un axioma) o podía ser deducido del resto de postulados previos? Sin embargo a lo largo de los siglos los intentos de demostración no tuvieron éxito.

Todo parecía indicar que el quinto postulado era un axioma no deducible de otros axiomas euclideos. Un axioma es por definición indemostrable, es una verdad dada a priori a partir de la cual construimos el resto del “castillo” matemático. Sin embargo, la indemostrabilidad del quinto postulado no era tan fácil de aceptar. Parecía indicar la imposibilidad de demostrar que dos rectas paralelas (según la definición del quinto postulado) no se cortarían nunca. Esto recuerda al problema metafísico del infinito. ¿Cómo podemos demostrar que las rectas nunca se cortarán en su prolongación infinita? Una cosa es la intuición que podamos tener y otra el problema de la demostración matemática formal.

geosphere4El gran genio matemático Gauss le dio la vuelta al problema pensando que podrían existir geometrías donde el quinto postulado no fuera cierto. Hasta aquella fecha, incluyendo la época de Gauss, pensar en otro tipo de geometrías no tenía sentido. La geometría euclidea era la unica verdadera. Se podían construir rectas paralelas a otras siguiendo la definición del quinto postulado. Pero Gauss pensaba en la esfera (a la sazón trabajó como topógrafo) y en la posibilidad de una geometría esférica que cumplía todos los axiomas euclideos menos el quinto postulado.

La geometría esférica era consistente con los cuatro axiomas previos de Euclides, y sin embargo no se podía crear ninguna recta paralela a otra (las rectas en este caso son las geodésicas). Gauss no publicó sus resultados por ser demasiado extravagantes para la época según su propio criterio.

geometriasEl salto definitivo se produjo en el siglo XIX con el desarrollo formal de las geometrías no-euclideas que negaban el quinto postulado. De esta manera se generalizó el asunto con la geometría elíptica desarrollada por Riemann, y la geometría hiperbólica desarrollada por Lobachevsky (entre otros).

Estas geometrías correspondían a espacios de curvatura positiva (como la esfera) o de curvatura negativa (como el hiperboloide). La geometría euclidea clásica correspondería a un espacio de curvatura cero (el espacio “plano”).

Es fácil confundirse con estos conceptos. Por ejemplo podemos definir una superficie esférica en un espacio euclídeo plano. De hecho es la geometría habitual que estudiamos durante años en la escuela. Pero también podemos pensar que el mismo espacio tiene una geometría esférica. La pregunta es: ¿qué geometría es más útil para entender el mundo físico y en qué casos conviene utilizar una u otra?

Pero hemos dejado atrás el teorema de Pitágoras. Volvamos a él por un momento. El quinto postulado se puede hacer equivalente al teorema de Pitágoras. Por consiguiente, si negamos el quinto postulado, negamos Pitágoras. Esto significa que un triángulo rectángulo en geometría no-euclidea no cumple el teorema al igual que la suma de sus tres ángulos no suma 180 grados. El teorema de Pitágoras podemos considerarlo una definición axiomática “a priori” válida en espacios de geometría plana.

Evidentemente la geometría euclidea es muy útil. La mayoría de las mediciones locales, análisis de longitudes, áreas y volúmenes las podemos realizar con geometría euclídea. Sin embargo, si tuviéramos que hacer operaciones geométricas sobre grandes distancias en la Tierra sería conveniente utilizar la geometría esférica, ya que la Tierra se parece más a una esfera que un plano.

Mucho más interesante es la pregunta sobre la geometría del universo. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos ¿se mantendrán paralelos (espacio plano), se cortarán (espacio de curvatura positiva) o se alejarán (espacio de curvatura negativa)? Einstein se apoyó en la geometría no-euclidea para desarrollar la Teoría de la Relatividad General. Los rayos de luz siguen trayectorias en función de la curvatura del espacio, y la curvatura depende de la masa y la energía. Según Einstein, si conocemos la distribución de la masa y la energía en el Universo conoceremos su geometría en cada punto del mismo y por lo tanto la forma en la que se mueven y aceleran los objetos.

La cosmología intenta resolver cual es el valor global de la curvatura del Universo, si es plano, cerrado (curvatura positiva) o abierto (curvatura negativa) y de momento todos los indicadores apuntan a un universo prácticamente plano cuya expansión se está acelerando. Pero esta es otra historia para otra entrada.

Más información:
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-i-el-quinto-postulado.html

http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/02-03/PG02-03-munoz.pdf

febrero 7, 2009 Posted by | matemática | 6 comentarios

Ley potencial

powerlawEstamos rodeados de leyes potenciales. Un proceso físico responde a una ley potencial cuando la probabilidad de que ocurra un evento decae de manera potencial con cierta magnitud o, en otras palabras, siguiendo una fórmula del tipo f(x) = x-k (donde x es una variable medible elevada a una potencia).

En la naturaleza existen muchos fenómenos que siguen estas leyes. Por ejemplo los terremotos. Si dibujamos en un gráfico las veces que aparecen los terremotos en función de la energía liberada, obtendremos una curva de tipo potencial como en la imágen. A la izquierda obtendremos muchos terremotos de poca magnitud (zona alta de la curva) mientras que la zona baja de la curva significa que hay muy pocos terremotos de gran magnitud. En resúmen: “muchos con poco y pocos con mucho”. Esta es la esencia de la ley potencial.

Por lo tanto en una ley potencial los sucesos se producen con una frecuencia variable, donde muchos sucesos son de pequeña escala y pocos de gran escala. Esta relación entre muchos y pocos no es arbitraria, sino que sigue precisamente una ley potencial concreta con un exponente (k) característico de cada fenómeno físico. Existe, pues, una relación matemática definida que indica cuantos eventos se producen de cada tipo – puede calcularse.

campanaOtros fenómenos que siguen leyes potenciales: la relación entre número de ciudades y habitantes (pocas ciudades de muchos habitantes y muchas de pocos), la conectividad de nodos en Internet, la frecuencia de las palabras en el lenguaje, la riqueza de las personas, el tamaño de los seres vivos, los links de internet, el terrorismo, etc. No deja de ser curioso que todos estos sistemas respondan a leyes potenciales con bastante exactitud ya que, a priori, podríamos suponer que la riqueza de las personas o la conexión de nodos a Internet son fenómenos bastante aleatorios en distribución donde esperaríamos obtener una curva de campana.

La curva de campana es muy diferente a una ley potencial y es muy importante saber si un fenómeno físico responde a una u otra. La curva de campana (o gaussiana) aparece cuando el fenómeno físico tiende a un valor central o media. Por ejemplo la altura de las personas, los errores de medición en aparatos de medida, y muchos otros. La curva de campana es una curva exponencial, lo que significa que decae muy rápidamente cuando se aleja del valor central, y por lo tanto es muy difícil encontrar sucesos o muestras muy diferentes. Por ejemplo podríamos decir que la probabilidad de encontrar una persona de 6 metros de altura o de 10 cm es prácticamente nula. La curva y nuestra intuición coinciden.

cisnePero con las leyes potenciales la cosa es diferente. Una ley potencial no tiene valor medio o central. Las probabilidades también decaen pero mucho mas lentamente que la ley exponencial.  Podemos cometer un grave error si creemos que un fenómeno físico tiene una ley exponencial y luego resulta ser potencial (o viceversa) ya que estaríamos subestimando la probabilidad del suceso en órdenes de magnitud. Desgraciadamente la ley potencial de los terremotos nos dice que las probabilidades de que suceda un gran terremoto no son nulas (al menos no tanto como en una ley gaussiana). También nos dice que muy pocos pueden ser Bill Gates, pero no imposible. Podemos calcular las probabilidades de que suceda el evento extremo!

En el libro El Cisne Negro, de Nassim Nicholas Taleb, se hace una crítica feroz hacia la sacralización y sobreexplotación de la curva gaussiana en detrimento de las potenciales, lo que produce una “ceguera” ante los posibles “Cisnes Negros” (sucesos extremos) que nos acechan en la vida. Estoy bastante de acuerdo. ¿Por qué no se enseñan y comparan las leyes potenciales junto a las distribuciones gaussianas?

fractal03Parece que las leyes potenciales aparecen cuando existen relaciones dinámicas a diferentes escalas en el sistema. La ley potencial es una consecuencia macroscópica de esas interrelaciones ocultas entre los componentes. Hay toda una línea apasionante de conceptos que relacionan la geometría fractal, las dinámicas caóticas, los atractores extraños y las leyes potenciales. Aunque habrá motivo para más entradas sobre el asunto, me quedo con la idea de que las leyes potenciales son interesantes y misteriosas mientras que las gaussianas son simples y aburridas.

enero 27, 2009 Posted by | matemática | 1 comentario

Cantor y los infinitos (II)

cantor1Decíamos en la entrada anterior que Cantor había definido el cardinal del conjunto de los números naturales N y lo había llamado Aleph-Cero o Aleph-0. También vimos que Aleph-Cero era el cardinal de muchos subconjuntos de N como por ejemplo los números pares, los impares, los primos, los enteros negativos, etc.  y que por ello Aleph-Cero era el primer cardinal transfinito. Mi recomendación con estos asuntos es no intentar pensar en la “realidad” de Aleph-Cero, sino simplemente en su definición en el marco de la Teoría de Conjuntos. Muchas veces caemos en el problema de intentar asociar el ente matemático con la realidad física o la intuición, lo cual nos lleva a conflictos. Aunque el matemático Kronecker no aceptaba nada más allá de los números naturales, bajo el paraguas extremo de la llamada escuela finitista, o las teorías constructivistas que requieren una prueba de existencia. En la mayoría de los casos la matemática pura avanza sin tener en cuenta su conexión con el mundo físico, y en otros casos nos sorprende con resultados útiles. Tal vez pueda encontrar ejemplos para próximas entradas.

diagonalSigamos con los infinitos. Una pregunta interesante es averiguar “cómo de grandes” son otros conjuntos matemáticos infinitos en comparación con los números naturales. A priori podríamos pensar que el infinito es un concepto único y solo puede tener un “tamaño único”. Por ejemplo, pensemos en las fracciones, es decir, el conjunto Q de todos los números racionales representados por cualquier fracción (a/b) donde a y b son números enteros, como 5/6, 3/4, 1/2… . Cantor demostró que había tantas fracciones como números naturales a través un fácil método. Básicamente consiste en montar una matriz donde se pueden construir todas las fracciones (el numerador es la fila y el denominador la columna o al revés) y recorrer (numerar) cada elemento siguiendo las diagonales como se muestra en la figura. De esta manera, todas las fracciones pueden ser puestas en correspondencia uno-a-uno con los números naturales: es un conjunto numerable. De nuevo su cardinal es Aleph-Cero.

El siguiente salto de Cantor fue todavía más interesante. Se preguntó sobre los números reales R, concretamente sobre todos los números de la recta real entre 0 y 1, incluidos los racionales y los irracionales. En este conjunto tenemos números como: 3 (entero), 1/3 (racional), √2 (irracional), e (transcendental). Todos estos números tienen la forma decimal 0.xxxxxxx… con un número infinito de cifras después de la coma (pueden ser ceros). ¿Se podrían poner en relación uno-a-uno con los números naturales?

Y aquí viene uno de los descubrimientos más transcendentales de Cantor. Mediante su diagonalización demostró que los números reales (R) no podían contarse! Básicamente lo que hizo fue colocar en una matriz infinitamente extensa todos los posibles números reales. Cada fila numerada contendría un número de la forma 0.xxxxxx…  por ejemplo veamos un fragmento de esa matriz:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5

La pregunta que nos hace Cantor es la siguiente: ¿en qué fila podemos encontrar el número que surge de coger todas las cifras de la diagonal seguidas sumando una unidad a cada una de ellas? Es decir, en nuestro caso si esa cifra es 0.5140235… entonces buscaríamos el número 0.6251346… Resulta que este número no podemos encontrarlo en ninguna fila porque justo “choca” en la diagonal, sea cual sea la fila que elijamos. Es decir, hemos definido un número que no puede estar en nuestra matriz numerable, por lo tanto llegamos a la conclusión de que los números reales no son numerables o, en otras palabras, hay más números reales que naturales.

Esto fue un hallazgo importante. ¿Cómo puede un infinito ser más grande que otro infinito? Al infinito de los números naturales, nuestro infinito “de toda la vida” lo enfrentamos con un infinito más profundo: el de los números reales, también llamado “el continuo“.

Siguiendo con este asunto, Cantor buscó una forma de cuantificar este nuevo infinito. Definamos un momento el conjunto “partes de un conjunto” que simplemente reúne todas las colecciones de elementos de un conjunto. Por ejemplo el conjunto { a, b, c } de cardinal 3 tiene las colecciones { o, a, b, c, ab, ac, bc, abc } es decir 23 = 8 elementos (cardinal 8). En cualquier otro conjunto se cumple la misma fórmula: su conjunto “partes” tiene 2N elementos donde (n) es el número de elementos originales. Pues bien, Cantor demostró que el cardinal de los números reales era precisamente el cardinal del conjunto “partes de los números naturales”. En otras palabras, el contínuo tiene 2AlephCero elementos!

escherMás curioso aun fue su análisis de espacios de mayor dimensión. Por ejemplo el plano RxR de dos dimensiones se define con pares de números reales. Es muy fácil realizar una correspondencia uno-a-uno entre cualquier número real (R) y un par de números reales (RxR) simplemente cogiendo las cifras pares del primero para montar un nuevo número, y las cifras impares para el otro: de o.47693485… se obtiene (0.4638…, 0.7945…). Entonces tenemos que aceptar que el plano tiene el mismo número de puntos que la recta! Es más, el método se puede aplicar entre cualesquiera espacios de (n) y (m) dimensiones. Paremos un momento a pensar en esta asombrosa conclusión: “cualquier dimensión es isomorfa a cualquier otra y tiene el mismo número de puntos”.

alephCantor definió toda una jerarquía de números transfinitos: Aleph-o, Aleph-1, Aleph-2… con un gran rigor matemático y lanzó un último desafío: ¿existía algún número transfinito entre Aleph-o y el continuo? La llamada hipótesis del contínuo. Nunca consiguió resolverla, cosa que ahora se sabe que es indecidible y se puede considerar verdadera o falsa a elección.

Rindamos homenaje a Cantor que luchó hasta la locura por entender el infinito.

enero 21, 2009 Posted by | matemática | 3 comentarios

Cantor y el hotel de Hilbert (I)

cantor

Mencionaba en otra entrada a uno de mis matemáticos favoritos: Georg Cantor.  Este hombre se enfrentó con un “demonio” de las matemáticas: el infinito. El libro Infinity, comentado en dicha entrada, habla extensamente sobre Cantor y su doble lucha: el infinito y la cúpula matemática de la época representada por Kronecker. Cantor tuvo la mala suerte de enfrentarse con un enemigo acérrimo de todo lo que fuera más allá de los números enteros. Para Kronecker la única matemática válida era la basada en números enteros, prescindiendo de irracionales, imaginarios y por supuesto esa cosa absurda llamada infinito. Esta doble lucha fue minando la salud mental de Cantor hasta su final.

Cantor, uno de los padres fundadores de la Teoría de Conjuntos, analizó los números en el marco de esta nueva teoría, definiendo los números ordinales y cardinales a través de relaciones entre elementos de conjuntos. Por ejemplo, supongamos un conjunto definido arbitrariamente por sus elementos { #, $, & } y otro { @, %, ♣ }. ¿Qué tienen en común estos dos conjuntos? Que podemos establecer una relación uno-a-uno entre sus elementos: { #↔@, $↔%, &↔♣ }. Además podemos utilizar el conjunto de los números naturales para numerarlos, de la forma { 1↔#↔@, 2↔$↔%, 3↔&↔♣ }. Esto significa que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal = 3.

ovejasObservamos pues, que el cardinal de un conjunto representa el número de elementos que se pueden “contar” simplemente estableciendo correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los elementos del conjunto. Desde este punto de vista, un número cardinal no significa nada en sí mismo. Cuando decimos “seis” ¿qué queremos decir? Nos referimos a todos los conjuntos en los que podemos numerar sus elementos de la forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dos pastores podrían saber que tienen el mismo número de ovejas (el mismo cardinal del conjunto de ovejas) simplemente emparejándolas aunque no supieran cuantas tienen. Todo este preámbulo solo sirve para prepararnos para el salto al infinito.

Pensemos ahora en la secuencia de números naturales infinita: 1, 2, 3, 4, 5… y observemos que podemos establecer una correspondencia uno-a-uno con los números pares, de la forma: 1↔2, 2↔4, 3↔6, 4↔8, 5↔10. Recordemos, si se puede establecer una relación uno-a-uno entonces ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Pero este caso es curioso, porque el conjunto de los números pares es un subconjunto de los números naturales! De hecho, esta correspondencia podemos establecerla también con los impares, los primos, e infinidad de secuencias. Esto ya empieza a complicarse, ya que llegamos a la conclusión de que los infinitos números naturales pueden ponerse en relación uno-a-uno (pueden contarse) con subconjuntos de sí mismo.

Cantor hizo el primer salto al infinito de esta manera, definiendo un conjunto infinito como aquél cuyos elementos pueden ponerse en relación uno-a-uno con subconjuntos de sí mismo. Pero si estamos hablando de contar, ¿cuántos elementos hay en la secuencia de números naturales? Igual que existe un cardinal llamado “tres” y otro cardinal llamado “catorce”, Cantor definió el primer cardinal transfinito y lo llamó “Aleph-Cero” : el cardinal de los números naturales. Así que ya sabemos “cuantos números” hay en la secuencia infinita 1, 2, 3, 4, 5… “Aleph-Cero”

hotelPara entender mejor el concepto, vamos a revisar el famoso ejemplo del Hotel de Hilbert. La historia (resumida) trata sobre un hotel con infinitas habitaciones (!) donde cada habitación esta numerada 1, 2, 3, 4, 5… . Al hotel llega un autobus con infinitos jugadores de baloncesto. Hilbert no tiene ningún problema. Al primer jugador le asigna la habitación 1, al segundo la habitación 2, y así a todos los infinitos jugadores. Ninguno se queda sin habitación.

Al rato aparece una persona mas en su coche particular. Pero, maldición, el hotel esta lleno. Hilbert sonríe para sus adentros y envía una nota a todas las habitaciones pidiendo cortésmente que cada huésped suba a la habitacion inmediatemente superior, simplemente sumando uno al número de su habitación. Cuando realiza la operación la habitación número 1 queda desocupada y la asigna al nuevo huesped. Al rato viene un autobús con 50 personas, y Hilbert envia de nuevo una nota a todas las habitaciones para que todos los huespedes suban a la habitación que suma 50 con su habitación actual. De nuevo consigue 50 habitaciones disponibles (habitación 1 a 50).

Súbitamente aparece otro autobús de infinitos jugadores de cricket pidiendo habitaciones en el hotel. Houston, tenemos un problema! piensan los preocupados asistentes del hotel – infinitos jugadores pidiendo infinitas habitaciones en un hotel infinitamente lleno! Pero Hilbert vuelve a sonreir divertido y además nos guiña un ojo. Envía una nota a todas las habitaciones: “Queridos clientes, por motivos ajenos a nuestra voluntad, cada huésped tendrá que moverse a la habitación de número doble a su número actual”. Todos los huespedes actuales ocupan, por lo tanto, las infinitas habitaciones pares, dejando un infinito número de habitaciones impares para los impacientes jugadores de cricket.

Volviendo a la teoría, el Hotel de Hilbert tiene Aleph-Cero habitaciones y los números transfinitos tienen la curiosa propiedad de que podemos sumarles, restarles o multiplicarles por cualquier número, sin que se inmuten.

AlephCero + n = AlephCero
AlephCero + AlephCero = AlephCero

Los desarrollos de Cantor no acaban aquí. No se vayan todavía aún hay más…infinitos!

enero 18, 2009 Posted by | matemática | 3 comentarios

La máquina de la verdad

ramon_llullRamón Llull o Raimundo Lulio, filósofo, poeta, místico y teólogo del siglo XIII describió una máquina lógica que capaz de demostrar las proposiciones verdaderas o falsas del conocimiento, incluyendo las verdades teológicas y filosóficas. La máquina, llamada Ars Magna, utilizando volantes y palancas, y a partir de unos conceptos fundamentales que todo ser humano aceptaría como ciertos, realizaría combinaciones lógicas y demostraría nuevos enunciados. Las proposiciones y tesis se movían a lo largo de unas guías y se detenían frente a la postura positiva (certeza) o negativa (error) según correspondiese. Uno de los propósitos de la máquina sería revelar la verdad cristina y convertir a los fanáticos musulmanes.

Llull influyó cuatro siglos despues a Leibniz en la idea de desarrollar una lógica simbólica del conocimiento. A este sistema lo llamó Ars Combinatoria, y utilizaba aritmética combinatoria sobre una clasificación formal similar a los axiomas del conocimiento. Su objetivo era alcanzar una formalización lógica del saber a través de un idioma universal, a través del cual la humanidad podría calcular la veracidad de cualquier aserto. Su Characteristica Universalis o alfabeto del conocimiento humano fue tambien discutido por Descartes. Según Leibniz, construir Characterística sería una tarea ingente, un equipo de hombres selectos podría realizar el trabajo en cinco años, pero tal vez la humanidad no estaría preparada para tal máquina.

principia1A finales del siglo XIX y principios del XX, matemáticos como Frege, Hilbert, Whitehead, Russell, trabajaron sin tregua en la formalización completa de la matemática a partir de un sistema de axiomas dado y sus reglas. Ya lejos del ámbito metafísico, teológico o filosófico, pretendían demostrar que cualquier proposición matemática creada a partir de un sistema de axiomas podría demostrarse (calcularse) verdadera o falsa mediante pasos lógicos y secuenciales (o, por qué no, mecánicos). Las páginas de la obra Principia Mathematica de Whitehead y Russell parecen escritas en otro idioma. Recuerda mucho a las máquinas de Llull o lenguaje universal de Leibniz. Todo iba bien hasta que aparecido Gödel en escena…

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Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud en el año 1930 dándo un golpe en la mesa a todo este castillo de naipes construido desde la remota idea de Llull. Ya he comentado en otra entrada la hazaña de Gödel y cómo desde la antigüedad se conocían paradojas autorreferentes (“esta frase es falsa”) que producían muchos dolores de cabeza a los lógicos. Gödel demostró la forma de construir teoremas según los axiomas de la aritmética que eran indemostrables en el mismo sistema. Más aún, podíamos intuir teoremas verdaderos, pero no demostrables.

eniacSi existiera una máquina que pudiera calcular la veracidad o falsedad de una proposición podríamos romper la máquina introduciendo una “frase de Gödel” que el sistema no pudiera resolver. En el libro Godel’s Theorem: An Incomplete Guide To Its Use And Abuse se propone esta curiosa historia:

Le presentan a Gödel la Máquina Universal de la Verdad  (MUV) que es capaz de responder cualquier pregunta de forma lógica. Gödel escribe en un papel “Esta máquina nunca podrá decir que esta frase es verdadera”. Mete la frase en el sistema y le pregunta a la máquina si esa frase es verdadera o falsa.

MUV no puede decir que la frase es verdadera porque implica su contradicción. MUV no puede decir que la frase es falsa porque eso significa que entonces podrá decir que es verdadera. De nuevo contradicción. La única solución lógica para la máquina es permanencer en silencio. Solo entonces la frase es verdadera.

Esto parece indicarnos que nuestra mente puede crear proposiciones que “sabemos” que son verdaderas o falsas, pero que no podemos demostrar mediante reglas lógicas utilizando los axiomas con los que hemos construido esa proposición. ¿Significa esto que nuestra mente utiliza algun tipo de física no-computable, es una trampa del propio sistema de inferencia del lenguaje humano, o el límite impuesto por Gödel para la demostrabilidad de algunos teoremas? En tres palabras: no lo se.

enero 15, 2009 Posted by | filosofía, matemática | Deja un comentario

Al infinito…y más allá!

clegginfinityBuzz Lightyear, aquél simpático personaje de la saga Toy Story, nos deleitaba con su famosa frase “Al infinito…y más allá”. ¿Existirá algo después del infinito? Brian Clegg nos demuestra que sí en su libro “Infinity – The quest to Think the Unthinkable”.

El concepto de infinito nos ha acompañado a lo largo de la historia del conocimiento y ha sido objeto de grandes debates en el terreno de las matemáticas, filósofía, cosmología o religión. El infinito ha vuelto loco a algún matemático como veremos. Brian Clegg hace una revisión histórica del infinito y su primo-hermano el infinitesimal, partiendo de los filósofos griegos hasta los descubrimientos matemáticos del siglo XX. El libro no profundiza demasiado en cada tema pero a cambio nos hace un recorrido muy completo.

Los griegos ya lidiaron con el infinito. Zenón fue famoso por plantear sus paradojas de movimiento. Son las famosas paradojas de Aquiles y la Tortuga y La Flecha. La primera siempre me ha parecido mas intuitiva. Aquiles  y la tortuga se plantean una carrera. Aquiles da ventaja de 1 metro a la tortuga. Cuando la carrera comienza, Aquiles debe recorrer el primer metro en algún tiempo, pongamos que tarda un segundo. En ese segundo la tortuga  habrá recorrido cierta distancia (muy pequeña, pero algo). Volvamos  a repetir la jugada. Aquiles tendrá que recorrer de nuevo el espacio que ha adelantado la tortuga, pero en ese posiblemente muy corto espacio de tiempo la tortuga habrá adelantado un poco más. Siguiendo hasta el infinito este bucle vemos que Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

o_aquiles-y-la-tortugaTodos sabemos que esto no es correcto, Aquiles pasará a la tortuga rápidamente, pero entonces ¿dónde esta el fallo del razonamiento lógico anterior? Mucho se ha escrito sobre estas paradojas así que no me extenderé. Solo mencionaré dos posibles soluciones. En una se asocia el movimiento de Aquiles a una serie de sumas que, aunque se sumen infinitamente, convergen a un número finito. Por ejemplo la seríe infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16… converge a 2. En otra se aduce que la realidad física no permitiría una reducción infinita puesto que el espacio y/o el tiempo tendrían un límite discreto. Algunas hipótesis de física teórica plantean un tiempo y un espacio discretos. Sea lo que sea, las paradojas de Zenón marcan la tendencia de los problemas que surgen cuando se usa el infinito.

escher_infinitoEl concepto de infinito surge de forma natural en la idea de que no existe un último número. Cualquier número que imaginemos nunca será el último porque podemos añadir uno más. La discusión metafísica surgió entre aquellos que pensaban que el infinito es algo concreto, una cosa real, y los  que pensaban que era un mero concepto: “sin final”, al que no se le puede otorgar existencia real.  Aunque a estas alturas la discusión parece algo absurda, motivó profundos dilemas y debates intelectuales. Algunos teólogos asociaron infinito a Dios, mientras que otros lo negaron alegando de nuevo que el infinito era un concepto potencial, no real.

Avanzando en el tiempo nos encontramos con la invención del cálculo diferencial.  Newton y Leibniz de forma independiente descubrieron los “infinitesimales“. Cantidades infinitamente pequeñas que, de forma misteriosa, cambiaron la historia del conocimiento humano. A partir de ese momento los diferenciales permitieron resolver incontables problemas matemáticos, físicos, de ingeniería, etc. Sin embargo el concepto “diferencial” no se salvó de nuevo de la discusión filosófica.  Hasta el siglo XX nada menos el concepto diferencial se mantuvo en debate en cuanto a su verdadera naturaleza: ¿eran cantidades muy pequeñas o cero? Y en el primer caso, ¿cuánto de pequeñas?

cantor2Pero mi favorito, sin lugar a dudas, es Cantor. Este matemático de finales del XIX revolucionó la materia con sus avances en el concepto del infinito, y de paso se volvió loco en el intento. Para entender a Cantor primero hay que entender lo que es un número en la Teoria de Conjuntos. Si varios conjuntos pueden relacionar sus elementos uno-a-uno entonces podemos decir que tienen el mismo cardinal. De esta manera lo que llamamos “número cinco” es el cardinal que corresponde a todos los conjuntos posibles con cinco elementos. Cantor observó que la secuencia infinita de números  naturales 1, 2, 3, 4, 5… podría entenderse en el marco de la Teoría de Conjuntos otorgándole una cardinalidad que llamó Aleph-0. Cantor definió un conjunto infinito como aquel que puede establecer una  relación uno-a-uno con subconjuntos propios. Por ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, 4, 5…  se puede relacionar uno-a-uno con la secuencia de números pares (1→2, 2→4, 3→6…), con los impares, con las fracciones (racionales), con los primos, etc. Todos estos conjuntos tenían el mísmo “numero” de infinitos elementos, en palabras mas correctas, la misma cardinalidad.

Pero el verdadero salto conceptual de Cantor fue ir “más allá del infinito”, preguntándose si los numeros reales en el intervalo (0,1),  es decir, todos los números decimales racionales e irracionales entre cero y uno, tendrían la misma cardinalidad Aleph-0 que los números naturales. De una manera muy sencilla a través del proceso de diagonalización demostró que no se podían poner en relación uno-a-uno los números reales y los naturales. Había MÁS números infinitos reales que números infinitos naturales! ¿Cuántos más infinitos?

Si pensamos en la cantidad de partes que podemos hacer con un conjunto dado podremos visualizar un poco el asunto. Por ejemplo con 3 manzanas (ABC) podemos obtener todos estos subconjuntos: 0, A, B, C, AB, AC,  BC, ABC. Es decír matemáticamente 2 elevado a 3. Para N elementos el números de subconjuntos serán 2 elevado a N. Volviendo al infinito, se demuestra que el “número” de reales es 2 elevado a Aleph-0. En otras palabras, la “cantidad” de infinitos números reales es equivalente a la “cantidad” de infinitos subconjuntos que se pueden construir con los infinitos números naturales 1, 2, 3, 4…Marea un poco ¿verdad?

Cantor fue más allá del infinito “natural” y creó toda una jerarquía de infinitos, Aleph-0, Aleph-1, Aleph-2…así hasta el infinito del infinito, con un rigor matemático que le generó una gran animadversión especialmente por parte de un rígido Kronecker. Esta lucha académica unida a la complejidad intelectual de su propia investigación le produjo crisis mentales cada vez más frecuentes así hasta su muerte. Creo que Cantor merecerá una nueva entrada en este blog.

En resumen, un libro muy recomendable para aquél que busque entender que quería decír Buzz Lightyear exactamente. buzz

enero 11, 2009 Posted by | filosofía, libros, matemática | 1 comentario

Soy un bucle extraño – ¿en qué piensa un tomate?

strangeloopInauguro este blog haciendo referencia al ultimo libro que he leído: “Soy un bucle extraño” de Douglas Hofstadter. La verdad me ha gustado mucho, y eso que no he leído aun su conocida obra “Gödel Escher Bach” (GEB). El autor propone este libro como una segunda parte a GEB en interés de aclarar mejor los mensajes que quiere transmitir a su publico y que pudieron no quedar demasiado claros en GEB. Tal vez haya acertado empezando por este. Por cierto el título en español se ha traducido mal, la edición que yo tengo se titula “Soy un extraño bucle” cuando es más correcto decir “bucle extraño“, de forma similar a “atractor extraño” de la teoría del caos.

El libro trata sobre el recurrente problema de la consciencia y el sentido del “yo”. Para exponer su tesis propone un número de analogías ciertamente interesantes, todas basadas en fenómenos autorreferentes, empezando por sistemas sencillos como la retroalimentación de video (una cámara apuntando a su monitor) o la de audio (un micrófono escuchando su altavoz) . Una de las cosas más curiosas y que más quebraderos de cabeza da son los sistemas autorreferentes, ya sea desde el punto de vista matemático, fisico, linguistico, etc. No hay mas que revisar las famosas litografías de Escher para entender de una forma visual que significa “autorreferencia”. Volveré a ello después.

escher_manos1La tesis del libro es algo así como: la mente es un sistema generador de símbolos retroalimentado tan complejo que es capaz de representarse a sí mismo (como mirarse en el espejo) y producir el concepto “yo”. Veamos como sucede. Podemos suponer el cerebro de cualquier ser vivo (ameba, mosquito, vaca, perro, humano) como un sistema más o menos simple de codificación de la realidad externa en símbolos internos. Esto es fácil de imaginar. Cualquier input de entrada a través de los órganos sensoriales (luz, sonido, presión, un tigre que me quiere comer…) quedará representado por algún tipo de circuito o resonancia neuronal que simboliza esa realidad. La cantidad de símbolos posibles dependerá de la complejidad del cerebro. Una ameba, hormiga, mosquito, tendrán un número limitado de símbolos comparado con organismos más complejos. Podemos aceptar que existe una cierta gradación en ello, de tal manera que organismos avanzados como un perro o un primate manejan símbolos avanzados como “amistad”,  “pena”, “orgullo”, “vergüenza” (cualquiera que haya tenido perros lo sabe bien) y que difícilmente encontraremos en un mosquito (el autor profesa una especial aversión por los mosquitos – debió tener una mala experiencia).

chiquito_de_la_calzada_a_negociarEl sistema de símbolos, pues,  crece con la complejidad del cerebro hasta llegar a crear símbolos cada vez más abstractos como el amor, odio, envidia, pasión, celos, engaño, complejo de superioridad, hacer la pelota, hacerse el tonto, imitar a Chiquito de la Calzada, etc. Según el autor, cuando el sistema alcanza cotas de complejidad suficientes, comienza a modelar un símbolo que se refiere a sí mismo: el símbolo del “yo”. El sistema es lo suficientemente complejo como para contener descripciones de sí mismo. Por lo tanto se supone que la consciencia emerge de una manera gradual en los seres vivos, un mosquito sería muy poco o nada consciente de sí mismo, un perro algo más, y el ser humano alcanzaría la cota máxima (no conocemos nada superior) con un “circuito del yo” plenamente funcional. Todo este sistema de símbolos gira y gira dentro del cerebro como si fuera el software que se ejecuta en el hardware neuronal.

Por resumir un poco, podríamos decir que nuestro cerebro ha generado un sistema simbólico tan complejo que es capaz de producir símbolos de símbolos, y en el extremo símbolos del propio sistema generador de símbolos, es decir, de sí mismo. Cuando esto sucede, se produce una especie de retroalimentación autorreferente (bucle extraño) al cual le podemos llamar mente o incluso alma. Desde el punto de vista del autor, el sentido del “yo” y la consciencia sería un programa más cargado en la memoria del ordenador cerebral, un programa que asume un control muy fuerte del sistema en tanto en cuanto la retroalimentación es un factor que eleva exponencialmente la dinámica del mismo. El programa “yo” adquiere una posición preponderante en el cerebro y se muestra muy activo – es el amo del calabozo. El autor es amigo de las analogías y nos lanza de nuevo la pregunta: ¿puede un sistema modelarse a si mismo, al menos en parte? Volvamos a los sistemas autorreferentes.

kurt_godel_La historia de los sistemas que hablan de si mismos viene de lejos, por ejemplo las famosas frases paradojicas “Yo soy un mentiroso” o “Esta frase es falsa” no pueden decidirse verdaderas o falsas y revelan problemas lógicos con los usos autorreferentes en el lenguaje. Pero no fue hasta el siglo XX cuando los trabajos de Russell en la búsqueda del Santo Grial matemático de la completitud, y especialmente de Gödel marcaron un hito en el asunto de la autorreferencia. Rusell observó que había problemas de autoreferencia en la teoría de conjuntos (paradoja de Russell). Gödel demostró que determinados sistemas formales con axiomas aritméticos, empezando por nuestra conocida aritmetica de numeros enteros, son o incompletos o inconsistentes. En otras palabras, existen teoremas que no se pueden demostrar verdaderos ni falsos dentro del sistema. Para realizar su objetivo Gödel fue capaz de utilizar el propio sistema simbólico gobernado por los axiomas aritméticos para construir de una forma perfectamente legal un teorema que hablaba de sí mismo y decía que “era indemostrable”. Increible pero cierto. Me gustaría hablar sobre la demostración de Gödel en otro capítulo si consigo entenderla bien primero! La construcción de Gödel le sirve al autor como analogía para llevarnos a entender lo que significa que un sistema pueda hablar de si mismo así como las posibles paradojas a las que se puede enfrentar, si bien utilizar a Gödel fuera de su ámbito particular es algo arriesgado.

En lineas generales me ha gustado mucho la aproximación del autor al tema y comulgo con la idea de que la mente es un concepto que emerge de forma gradual en los sistemas complejos. Es un sistema emergente por excelencia. No podemos entender la mente estudiando lo que hace una neurona, igual que no podemos entender el hormiguero estudiando lo que hace una hormiga. Los seres vivos más desarrollados en capacidad neuronal poseerían, por lo tanto, mayor número de categorias mentales y mayor consciencia en si mismo. Incluso el ejemplo que el autor propone, el embrión humano que se desarrolla hasta alcanzar el estado de humano adulto, también recorre de forma progresiva ese camino en complejidad y autoconsciencia.

Surgen otras ideas muy sugerentes de la lectura del libro. Si la mente es una ejecución de simbolos complejos autorreferentes organizados en bucles, cabe la posibilidad de que no dependa mucho del hardware subyacente. Reconozco que he pensado varias veces en este asunto. Si la mente es un software corriendo en un hardware, ¿podríamos llegar a replicar ese software en otro hardware? ¿Qué sucedería si se realizase una copia exacta de mis conexiones neuronales en otro dispositivo físico? Si una maquina de teletransporte me copia en otro planeta ¿sigo siendo yo mismo? Será dificil poder algun dia dar respuesta a estas preguntas, ya que no parece que haya forma de comprobar su veracidad. De nuevo aparece el fantasma de Gödel indicando que la frase “yo soy yo mismo” no puede decidirse ni verdadera ni falsa.

halPero una idea algo mas accesible, y tambien con muchos tintes metafísicos, es el concepto de la consciencia en otros sistemas. Parece que el ser humano acepta de forma intuitiva que la consciencia responde a esa gradación de lo más simple a lo más complejo. Matar una bacteria es menos grave eticamente que aplastar un mosquito, y a su vez menos grave que matar a un perro, a un delfín, a un chimpancé, y a un humano. Cuando nos comemos un tomate, no pensamos que el tomate esté sufriendo por tener consciencia de si mismo. Pero si aceptamos que la consciencia es información en movimiento, entonces tendremos que aceptar de forma lógica que las máquinas podrian albergar consciencia de la misma manera y con la misma forma gradual. Un viejo Spectrum o Commodore serían muy poco conscientes (la bacteria), los Pentium algo más (mosquito), Internet tal vez algo más (hormiguero) y así hacia el momento en que los robots y las máquinas alberguen lo que tambien llamariamos algo así como mente o alma. Recuerdo para finalizar la historia de Skynet, el ordenador de la película Terminator que cobró consciencia de sí mismo el 26 de Agosto de 1997 – ahora debe estar empezando a sentir curiosidad por el sexo opuesto (virtual, por supuesto).

enero 9, 2009 Posted by | libros, matemática | 7 comentarios