Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Desgranando la complejidad

Mi charla TEDx sobre la emergencia de los sistemas complejos a partir de reglas simples, tema que me fascina.

enero 7, 2011 Posted by | física, matemática, otros | 1 comentario

Relojes de Einstein, mapas de Poincaré

relojes-poincare1Muy interesante libro de Peter Galison (editorial Critica). Einstein y Poincaré, Poincaré y Einstein, dos científicos muy diferentes en algunos aspectos pero muy cercanos en otros.

El autor expone sobre el progreso científico, técnico y filosófico de la época, dominada por el progreso de las comunicaciones y la cada vez mayor necesidad de una sincronización de los relojes. Poincaré y Einstein se ven inmersos y participan en una sociedad donde las nuevas tecnologías de comunicación por campos electromagnéticos permiten enviar señales telegráficas a través de miles de kilómetros, permitiendo una nueva definición del tiempo y el espacio. Poincaré directamente involucrado en proyectos de cartografía mediante conexiones telegráficas y electrificación horaria  en Francia, y Einstein analizando patentes de sincronización de relojes en la Oficina de Patentes de Berna. La cara de la moneda tecnológica se vuelve ciencia cuando ambos avanzan en sus teorías sobre el espacio y el tiempo. Sus trabajos tecnológicos resuenan en sus avances teóricos sobre la relatividad de la simultaneidad, los espacios no euclideos o el problema del movimiento.

eterLa ruptura con Newton (o mejor dicho, el paso adelante) estaba cerca. Maxwell ya había establecido las ecuaciones electromagnéticas, en donde la velocidad de propagación de las ondas es un invariante independiente del observador. Pero los científicos de finales del XIX seguían necesitando un “medio” por el cual las ondas debían propagarse: el éter. ¿Cómo era posible si no que algo se propagase por el vacío? Sin embargo el experimento de Michelson en la búsqueda del éter fue negativo. Michelson buscaba variaciones en la velocidad de la luz dependiendo de la dirección en contra o a favor del éter. No observó ninguna diferencia. Poincaré se resistía a desprenderse del éter mientras que Einstein, más iconoclasta, “mató” al éter y abrió la puerta a las teorías revolucionarias. En cualquier caso Poincaré se había aproximado mucho y rozó la teoría de la relatividad con los dedos. Su sentimiento conservador y práctico a la vez no le hizo necesario aventurar el camino de una nueva física, aunque en las conferencias de sus últimos años comenzaba a anunciar la necesidad de nuevos modelos.

Pero volvamos a los relojes. El mundo de finales del XIX estaba cambiando muy rápidamente. Los ferrocarriles y el telégrafo hacían cada vez más cercanos los pueblos y ciudades antes distantes. La sincronización horaria también se hacía palpable. Los horarios de los trenes obligaban a la convivencia de horas locales con otros sistemas horarios, ya que cada linea de ferrocarril usaba la de la estación principal. Algunas estaciones de tren mantenían tres horarios de referencia diferentes.

La humanidad se había regido hasta el momento por el horario solar, era el sol quien marcaba cuando comenzaba el día o cuando eran las 12:00 horas. Todo esto comenzó a cambiar en aquella época. La maraña de lineas de ferrocarril con diferentes horarios y la velocidad en aumento obligaba a una sincronización mejor, y además la tecnología ya lo hacía posible: el telégrafo. A través de un arduo esfuerzo con componentes políticas e internacionales, la humanidad fue evolucionando, desde la sincronización de los relojes de una ciudad a la sincronización a través del cable telegráfico con otras ciudades y otros países. En Francia sería el observatorio de París quien marcaría la hora de la nación, y en Inglaterra el observatorio de Greenwich. La centralización del tiempo!

gmt1El siguiente paso en la historia fue la sincronización del planeta. Cada país podría tener su hora, pero el mundo seguía demandando una estandarización completa al igual que el estandar internacional de medida y peso había supuesto un avance moderno. Los países comenzaron a discutir sobre la forma de establecer un protocolo de sincronización y cual sería el meridiano 0º de referencia. Paris luchó por poseer el meridiano 0º aunque Greenwich llevaba ventaja histórica al tener gran parte de la navegación marítima referenciada a Greenwich desde hacía años. En los primeros años del siglo XX los países fueron asociandose al estandar GMT. Paris, que había perdido la guerra por el meridiano 0º tuvo que retrasar su hora oficial en unos 9 minutos (la diferencia de longitud entre Paris y Greenwich). En 1924 las señales del observatorio de Greenwich radiaban la hora universal.

Pensemos por un momento en todo esto. Hasta hace menos de 100 años la humanidad se había regido por su hora local, la hora que marcaba el sol. No necesitaban sincronizar ningún reloj con los pueblos lejanos…¿para qué? La mayoría de la gente nunca viajaría más alla de su vecindad. Y sin embargo en solo 20 o 25 años, con el progreso tecnológico, todo el mundo se hizo pequeño, las comunicaciones y las altas velocidades obligaron a una sincronización horaria. Ahora vemos como algo normal que exista el concepto de tiempo universal, que para toda la humanidad los minutos, los segundos, las horas, coincidan de forma sincrónica, manteniendo solo un desfase de horas completas según la norma GMT (véase mi otra entrada y los casos raros).

El tiempo, intrinsicamente asociado al cielo durante milenios, se globalizó y electrificó, y la humanidad dejo de mirar al sol para averiguar la hora. Nunca volverían a coincidir, excepto para los habitantes de unos meridianos imaginarios.

marzo 24, 2009 Posted by | física, libros | Deja un comentario

Fuerza centrífuga e inercia

centriComenté en una entrada anterior que la famosa “fuerza de Coriolis” se debe llamar mas bien “efecto de Coriolis” porque no es ninguna fuerza. El efecto se debe al hecho de desplazarse de un punto a otro en un objeto en rotación. La rotación es un concepto no inercial.  En el Universo existe un concepto fundamental llamado inercia que significa que los objetos mantienen trayectorias rectilineas uniformes. La inercia no es ninguna fuerza, aunque de nuevo se confunden las palabras y se utiliza el concepto como “resistencia al movimiento”. No sabemos realmente qué significa la inercia, sólo sabemos lo que hace, y es mantener el movimiento de los objetos de manera uniforme.

Pero el tema de esta entrada es la fuerza centrifuga. ¿Fuerza? Pues tampoco es una fuerza, mejor dicho digamos que es otra fuerza ficticia, como Coriolis. Sin embargo enseguida pensaremos que cuando vamos en el coche y tomamos una curva cerrada notamos la fuerza centrifuga de forma muy evidente. Lo que sucede realmente es lo siguiente: el coche cambia su trayectoria rectilinea y obliga a todo lo que va dentro del coche a desviarse de su trayectoria inercial. Es decir, el coche empuja al conductor contra su tendencia a seguir la trayectoria uniforme. Desde nuestro punto de vista es una fuerza que nos empuja contra el coche, pero un observador externo lo verá mucho mas claro.

Fijémonos en un detalle. Supongamos una mosca volando dentro del coche. Esa mosca va a la misma velocidad que el coche. Suponiendo velocidad constante, el coche es un sistema inercial y la mosca no sabe nada de lo que sucede fuera ni a que velocidad va el coche (a todos los efectos no hay diferencia física). Cuando el coche comienza a girar, la mosca no sentirá nada, solo verá que el habitáculo del coche gira respecto a ella. Si el giro es cerrado, la mosca observará como algún lateral del habitáculo se abalanza sobre ella. Solo en el momento del contacto la mosca queda forzada en contra su trayectoria inercial  y siente una presión (fuerza).

espacioartA esto llamamos fuerza centrífuga pero, como hemos visto, no es una nueva fuerza que surge cuando los objetos giran, sino la “colisión” entre un objeto que obliga a girar a otro que “no quiere” y es obligado a seguir una trayectoria no inercial. En realidad, todas las moléculas de un objeto en rotación están sufriendo este “conflicto” en contra de su inercia quedando sometidas a esta tensión de reacción: es nuestra “fuerza” centrífuga (entre comillas).

Y para finalizar una última pregunta. Si sólo existiera un objeto en el Universo y estuviera girando, ¿notaría esta “fuerza” centrífuga? Pero…¿respecto a qué gira el objeto si no hay nada para comparar? Sabemos que un objeto gira cuando podemos comparar su movimiento con otro sistema de referencia pero si no hay nada con lo que comparar…¿gira realmente? Puede parecer una pregunta tonta, pero es una de las preguntas fundamentales en la física, que fue objeto de disquisición por parte de Newton, Mach y Einstein. Precisamente Mach definió la inercia como una interacción entre cada particula y el resto del universo, o dicho de otra manera, mi inercia es un efecto de interacción con el resto del Universo. Este concepto influyó a Einstein en su idea de reemplazar la materia y la energia por deformaciones del espacio-tiempo que definirían a su vez el comportamiento dinámico de las partículas.

febrero 3, 2009 Posted by | física | Deja un comentario

El mito de Coriolis

lavabo-fosilTodavía sigue circulando el mito de Coriolis respecto al giro del agua en los desagües de un hemisferio y del otro. Supuestamente en el hemisferio norte giran en una dirección y en el hemisferio sur en el otro. Lo primero que deberiamos hacer es comprobar en nuestro lavabo en qué dirección gira, o en varios lavabos de la casa, preguntar a nuestros conocidos, y ver si llegamos a alguna conclusión. Posiblemente veamos que unos giran en una dirección y otros en otra. Pero…¿qué es Coriolis?

Comencemos por una dura aseveración: la fuerza de Coriolis no existe. La llamada “fuerza” de Coriolis pertenece a la categoría de las fuerzas ficticias, por la cual asignamos una fuerza a un objeto que vemos desviandose cuando los que realmente nos desviamos somos…nosotros.

asper1Pensemos en este experimento imaginario. Estamos en el centro de una plataforma giratoria junto con un grifo que expulsa agua en horizontal por encima de nuestra cabeza, como un aspersor de riego. La plataforma gira pero nosotros no nos damos cuenta ni lo sentimos (esta muy bien engrasada). Veremos que el agua cae realizando una forma helicoidal por algun motivo “misterioso” y pensaremos que las gotas de agua deben estar sometidas a una fuerza lateral que las hace girar de esa manera. La realidad es que los que giramos somos nosotros.

Otro ejemplo: sobre la misma plataforma giratoria nos colocaremos dos amigos, uno en cada extremo. Le lanzaremos una pelota en linea recta a las manos del amigo, y sin embargo la pelota realizará una misteriosa curva en el espacio desviandose a un lado. Pensaremos que existe una fuerza que empuja a la pelota lateralmente, y sin embargo los que giramos somos nosotros.

coriolis_richardMoraleja: la Tierra gira y nosotros giramos arrastrados con ella. Cuando lanzamos un objeto al aire (un proyectil, el mismo viento, las corrientes de agua, etc.) podemos suponer que estos objetos quedan desvinculados del arrastre de la Tierra (no del todo por motivos de rozamiento). Podemos imaginar como la Tierra gira por debajo de ellos mientras nosotros, “montados” en la Tierra, observamos como se desvian y por lo tanto pensamos que algo les empuja lateralmente. Esa fuerza no existe, es el efecto “Coriolis”.

El efecto Coriolis se observa en los proyectiles balisticos que se lanzan de norte a sur o viceversa. El desvió observado, que de hecho es el giro de la Tierra simplemente, hay que corregirlo para llegar al punto de destino. Igualmente con los aviones.

¿Qué sucede con los objetos que rozan con la Tierra por ejemplo los mares o la atmósfera?  Si nos colocamos en el centro de nuestra plataforma giratoria y andamos en linea recta hacia su extremo, notaremos una fuerza que nos empuja lateralmente. Esta fuerza es realmente un rozamiento sobre la plataforma giratoria. No existe ninguna fuerza misteriosa sino el rozamiento con un objeto que nos presenta diferentes velocidades a lo largo de su radio (porque nosotros no somos una pieza rígida arrastrada por el objeto). De hecho esto nos esta indicando una conclusión lógica: todo objeto en rotación esta necesariamente sometido a tensión interna, pero me estoy alejando del asunto.

coriolis-swirlEl efecto combinado de fuerzas de rozamiento sobre la “plataforma” Tierra y de su giro propio producen las corrientes circulares atmosféricas y oceánicas. La mecanica de fluidos hace el resto. Este efecto tambien produce asimetrías en los cauces de los rios. Todo es producido por una simple causa: el giro de la Tierra. No existe ninguna fuerza de Coriolis pero nos es cómodo asignar una fuerza ficticia para entendernos. Tenemos cerca otra fuerza ficticia muy conocida: la fuerza centrífuga. De ella hablaré otro día.

Por último descubramos el enigma del giro del agua en el lavabo de casa. Se puede calcular matemáticamente la aceleración (ficticia) observada en un objeto que se desvía por Coriolis (por la Tierra que gira). En el caso mas favorable su aceleración es A = 2ωV donde ω=rotación de la Tierra y V=velocidad del cuerpo. Un cuerpo que se desplaza a velocidad 1 m/s recibe una aceleración 100.000 veces menor a la de su peso. Si pensamos en un lavabo en reposo (velocidades casi nulas) y con unos pocos litros de agua, podemos llegar facilmente a la conclusión de que la aceleración de Coriolis es despreciable. Cualquier otra fuerza que afecte al agua del lavabo será mucho más grande que Coriolis, como es el momento en el que se quita el tapón o el desplazamiento con la mano. Es más, el agua nunca llega al reposo absoluto, todo el agua del lavabo conservará un momento de giro que depende principalmente de la forma del lavabo y de la forma en la que el grifo echaba agua. Coriolis no puede compensar esas fuerzas. En el gran “lavabo” del océano con grandes masas y tiempo de aplicación sobre grandes distancias el giro se produce, pero en nuestro lavabo una mosca gana a Coriolis.

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enero 30, 2009 Posted by | física | 7 comentarios

Arquímedes – puede un petrolero flotar en un litro de agua?

¿Puede un petrolero de 100.000 toneladas flotar en un litro de agua? La respuesta rápida es NO. Lewis Carroll, autor de “Alicia en el Pais de las Maravillas” y matemático a la sazón, le hizo una pregunta similar a su sobrina pero usando cubitos de playa en vez de barcos. Veamos por un momento que es lo que nos cuenta Arquímedes al respecto.

Wikipedia dice sobre el Principio de Arquímedes: “…es un principio físico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desplazado (o desalojado) por dicho objeto.” Todos tenemos la imagen de Arquímedes sumergiéndose en un tonel y desplazando una cantidad de líquido que (eureka!) pesaba lo mismo que él. Moraleja: en los cuerpos flotantes, peso del agua desplazada = empuje hidrostático. Correcto? NO DEL TODO.

¿Dónde esta el problema? En dos cosas: Primero averiguar que quiere decir “agua desplazada” y segundo, darnos cuenta que podemos hacer flotar cualquier cuerpo en un volumen arbitrario de agua siempre que consigamos presión hidrostática suficiente. ¿Y cómo hacemos para conseguir presión hidrostática suficiente con poca agua? Simplemente haciendo que gane altura.

Un cuerpo flota en el agua porque se produce una presión hidrostática en la superficie de la parte sumergida. Esta presión hidrostática solo depende de la densidad del líquido y de la altura (h) de la columna de agua, pero no de su cantidad. Todos pueden realizar un experimento sencillo con dos cajas, cubos, o vasos, uno ligeramente más pequeño que el otro. Se puede hacer que el pequeño flote dentro del grande con una cantidad pequeña de agua permitiendo que el agua suba libremente por las paredes, y siempre que el objeto tenga una densidad inferior a la del agua.

arquimedesEs la altura del líquido que aumenta y produce presión hidrostática la que hace que el cuerpo flote. Obviamente NO hemos desalojado ninguna cantidad de agua equivalente al peso del objeto. De esta manera, con una cantidad arbitrariamente pequeña de agua podríamos teóricamente hacer flotar cualquier objeto pesado, incluso un petrolero de 100.000 toneladas, siempre que su densidad sea inferior a la del agua (en los barcos se cumple, o de lo contrario no flotarían!). En la práctica llegaremos a límites de tipo constructivo por la imposibilidad de hacer un recipiente que se ajuste con tanta precisión al objeto y los límites moleculares del líquido.

En el colegio hemos aprendido el concepto de Arquímedes para un caso particular y observando su efecto, no su causa. Cuando Arquimedes se sumerge en el tonel lleno de agua hasta su borde, puesto que el agua solo puede derramarse y no puede aumentar su altura, cumple la condición de derramar (desplazar, desalojar) un peso de agua equivalente al volumen sumergido. Si volvemos a la imagen del cubo sumergido arriba, el peso en agua del volumen de cubo que queda por debajo de la línea de flotación coincide con el peso del cubo, pero no porque desaloje ningún agua equivalente  en peso, sino porque el líquido sube y aumenta la presión hidrostática.

La causa del empuje es la presión hidrostática, la causa de la presión hidrostática es la gravedad, y la cantidad de agua desplazada es un valor arbitrario que depende de las formas del recipiente y del objeto sumergido.

Cuanto más altura consiga el líquido, menos agua necesitamos para hacer flotar el objeto. Por lo tanto podemos decir que solo hay dos casos ideales donde el objeto SÍ desplaza su peso en agua: en el barreño lleno de agua hasta el tope o en un plano infinito. En ambos casos, por definición, la altura de agua no puede aumentar.

Tal vez algunos pensarán que todo esto es cuestión de semántica (¿qué significa desplazar?) pero Lewis Carroll se hizo la misma pregunta, aunque posiblemente su sobrina le hiciera poco caso. Yo lo que creo es que Arquímedes nos confundió con su famoso baño.

Otras referencias:
http://www.wiskit.com/marilyn/battleship.jpeg
http://www.absoluteastronomy.com/topics/Archimedes_paradox

enero 13, 2009 Posted by | física | 18 comentarios