Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Los filósofos muertos

filosofosLos filósofos nacen, viven y también mueren. La mayoría de los filósofos trataron el concepto de la muerte como parte fundamental de su filosofía. Este libro recorre un buen número de filósofos de forma histórica y cuenta como vivieron y como murieron. La idea del libro es confrontar su visión intelectual sobre la muerte con la experiencia propia en los momentos finales de la vida. En algunos casos el final de la vida sobrevino de forma imprevista, a veces brutal, a veces casi cómica, en otros los filósofos se prepararon adecuadamente para una muerte “filosófica”, y en varios casos simplemente “decidieron” que ya era hora de marcharse.

El libro no trata de filosofía sino del eterno dilema de la existencia y fin de la misma desde el punto de vista de los filósofos afrontando su propio destino. El autor nos quiere transmitir algún mensaje, pero no directamente sino a través de estas historias casi telegráficas de vida y muerte de los filósofos que él ha seleccionado.

Cada uno podrá elegir, en la lectura del libro, aquellas historias que más le puedan motivar o servir en su propia circunstancia. A mi me han gustado dos especialmente.

El alumno pregunta al Maestro: “Maestro, ¿qué es la muerte?” Y el Maestro responde: “No hay diferencia entre la vida y la muerte”. De nuevo el alumno insiste de forma irónica: “Entonces Maestro, ¿por qué no te mueres?”. Y el Maestro contesta sin dudar: “Porque no hay diferencia”.

En varios filósofos clásicos se observa la misma conclusión. No hay diferencia entre la vida y la muerte. Ambos conceptos son dos caras de la misma moneda, de algo más elevado (la naturaleza, el universo, dios…) y la muerte solo es un tránsito o cambio de fase. Muchas teologías como la cristiana o islámica recogen este sentido, que también puede encajar con una visión dualista (cuerpo+alma) o monista (volveremos a ser lo que eramos antes de nacer, única sustancia…).

Pero lo que más me ha agradado es coincidir con la visión de Goethe sobre el “asunto”. Goethe piensa que un ser que existe no puede concebir su propia inexistencia, es un concepto sin sentido, al igual que la “nada” o el “vacío perfecto” no puede definirse como concepto existente (decir que es “ausencia de cosas” no es una prueba de existencia en mi opinión). Nuestra propia inexistencia es, por tanto, inverificable, ya que la verificación requiere existencia. El fin de la vida de los demás no confirma ni desmiente nada al respecto ya que nuestra existencia es un hecho irreducible para nosotros mismos. Estirando un poco el razonamiento llegamos a la conclusión de que somos inmortales.

Pensemos un minuto más en este razonamiento. Si no podemos demostrar ni verificar nuestra inexistencia, entonces lo único que podemos demostrar es nuestra existencia. Reconozco que parece un razonamiento un poco circular pero la idea también se encuentra cercana a las tesis del libro “Soy un bucle extraño” comentado en otra entrada. Cuando un ordenador esta apagado…¿sábe que esta apagado?

c3poRecuerdo a nuestro querido robot C-3PO en la Guerra de las Galaxias, cuando le apagaban y posteriormente le encendian. Daba la impresión de que volvía a retomar su “hilo de consciencia” en el mismo punto en que lo había dejado – aunque en un entorno diferente logicamente. C-3PO no podría entender que significa estar desconectado…

Ah, pero recordemos al ordenador HAL9000, de “2001, Odisea del Espacio” cuando le están desconectando hace una afirmación muy humana: “Tengo miedo”.

enero 25, 2009 Posted by | filosofía, libros | Deja un comentario

La máquina de la verdad

ramon_llullRamón Llull o Raimundo Lulio, filósofo, poeta, místico y teólogo del siglo XIII describió una máquina lógica que capaz de demostrar las proposiciones verdaderas o falsas del conocimiento, incluyendo las verdades teológicas y filosóficas. La máquina, llamada Ars Magna, utilizando volantes y palancas, y a partir de unos conceptos fundamentales que todo ser humano aceptaría como ciertos, realizaría combinaciones lógicas y demostraría nuevos enunciados. Las proposiciones y tesis se movían a lo largo de unas guías y se detenían frente a la postura positiva (certeza) o negativa (error) según correspondiese. Uno de los propósitos de la máquina sería revelar la verdad cristina y convertir a los fanáticos musulmanes.

Llull influyó cuatro siglos despues a Leibniz en la idea de desarrollar una lógica simbólica del conocimiento. A este sistema lo llamó Ars Combinatoria, y utilizaba aritmética combinatoria sobre una clasificación formal similar a los axiomas del conocimiento. Su objetivo era alcanzar una formalización lógica del saber a través de un idioma universal, a través del cual la humanidad podría calcular la veracidad de cualquier aserto. Su Characteristica Universalis o alfabeto del conocimiento humano fue tambien discutido por Descartes. Según Leibniz, construir Characterística sería una tarea ingente, un equipo de hombres selectos podría realizar el trabajo en cinco años, pero tal vez la humanidad no estaría preparada para tal máquina.

principia1A finales del siglo XIX y principios del XX, matemáticos como Frege, Hilbert, Whitehead, Russell, trabajaron sin tregua en la formalización completa de la matemática a partir de un sistema de axiomas dado y sus reglas. Ya lejos del ámbito metafísico, teológico o filosófico, pretendían demostrar que cualquier proposición matemática creada a partir de un sistema de axiomas podría demostrarse (calcularse) verdadera o falsa mediante pasos lógicos y secuenciales (o, por qué no, mecánicos). Las páginas de la obra Principia Mathematica de Whitehead y Russell parecen escritas en otro idioma. Recuerda mucho a las máquinas de Llull o lenguaje universal de Leibniz. Todo iba bien hasta que aparecido Gödel en escena…

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Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud en el año 1930 dándo un golpe en la mesa a todo este castillo de naipes construido desde la remota idea de Llull. Ya he comentado en otra entrada la hazaña de Gödel y cómo desde la antigüedad se conocían paradojas autorreferentes (“esta frase es falsa”) que producían muchos dolores de cabeza a los lógicos. Gödel demostró la forma de construir teoremas según los axiomas de la aritmética que eran indemostrables en el mismo sistema. Más aún, podíamos intuir teoremas verdaderos, pero no demostrables.

eniacSi existiera una máquina que pudiera calcular la veracidad o falsedad de una proposición podríamos romper la máquina introduciendo una “frase de Gödel” que el sistema no pudiera resolver. En el libro Godel’s Theorem: An Incomplete Guide To Its Use And Abuse se propone esta curiosa historia:

Le presentan a Gödel la Máquina Universal de la Verdad  (MUV) que es capaz de responder cualquier pregunta de forma lógica. Gödel escribe en un papel “Esta máquina nunca podrá decir que esta frase es verdadera”. Mete la frase en el sistema y le pregunta a la máquina si esa frase es verdadera o falsa.

MUV no puede decir que la frase es verdadera porque implica su contradicción. MUV no puede decir que la frase es falsa porque eso significa que entonces podrá decir que es verdadera. De nuevo contradicción. La única solución lógica para la máquina es permanencer en silencio. Solo entonces la frase es verdadera.

Esto parece indicarnos que nuestra mente puede crear proposiciones que “sabemos” que son verdaderas o falsas, pero que no podemos demostrar mediante reglas lógicas utilizando los axiomas con los que hemos construido esa proposición. ¿Significa esto que nuestra mente utiliza algun tipo de física no-computable, es una trampa del propio sistema de inferencia del lenguaje humano, o el límite impuesto por Gödel para la demostrabilidad de algunos teoremas? En tres palabras: no lo se.

enero 15, 2009 Posted by | filosofía, matemática | Deja un comentario

Al infinito…y más allá!

clegginfinityBuzz Lightyear, aquél simpático personaje de la saga Toy Story, nos deleitaba con su famosa frase “Al infinito…y más allá”. ¿Existirá algo después del infinito? Brian Clegg nos demuestra que sí en su libro “Infinity – The quest to Think the Unthinkable”.

El concepto de infinito nos ha acompañado a lo largo de la historia del conocimiento y ha sido objeto de grandes debates en el terreno de las matemáticas, filósofía, cosmología o religión. El infinito ha vuelto loco a algún matemático como veremos. Brian Clegg hace una revisión histórica del infinito y su primo-hermano el infinitesimal, partiendo de los filósofos griegos hasta los descubrimientos matemáticos del siglo XX. El libro no profundiza demasiado en cada tema pero a cambio nos hace un recorrido muy completo.

Los griegos ya lidiaron con el infinito. Zenón fue famoso por plantear sus paradojas de movimiento. Son las famosas paradojas de Aquiles y la Tortuga y La Flecha. La primera siempre me ha parecido mas intuitiva. Aquiles  y la tortuga se plantean una carrera. Aquiles da ventaja de 1 metro a la tortuga. Cuando la carrera comienza, Aquiles debe recorrer el primer metro en algún tiempo, pongamos que tarda un segundo. En ese segundo la tortuga  habrá recorrido cierta distancia (muy pequeña, pero algo). Volvamos  a repetir la jugada. Aquiles tendrá que recorrer de nuevo el espacio que ha adelantado la tortuga, pero en ese posiblemente muy corto espacio de tiempo la tortuga habrá adelantado un poco más. Siguiendo hasta el infinito este bucle vemos que Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

o_aquiles-y-la-tortugaTodos sabemos que esto no es correcto, Aquiles pasará a la tortuga rápidamente, pero entonces ¿dónde esta el fallo del razonamiento lógico anterior? Mucho se ha escrito sobre estas paradojas así que no me extenderé. Solo mencionaré dos posibles soluciones. En una se asocia el movimiento de Aquiles a una serie de sumas que, aunque se sumen infinitamente, convergen a un número finito. Por ejemplo la seríe infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16… converge a 2. En otra se aduce que la realidad física no permitiría una reducción infinita puesto que el espacio y/o el tiempo tendrían un límite discreto. Algunas hipótesis de física teórica plantean un tiempo y un espacio discretos. Sea lo que sea, las paradojas de Zenón marcan la tendencia de los problemas que surgen cuando se usa el infinito.

escher_infinitoEl concepto de infinito surge de forma natural en la idea de que no existe un último número. Cualquier número que imaginemos nunca será el último porque podemos añadir uno más. La discusión metafísica surgió entre aquellos que pensaban que el infinito es algo concreto, una cosa real, y los  que pensaban que era un mero concepto: “sin final”, al que no se le puede otorgar existencia real.  Aunque a estas alturas la discusión parece algo absurda, motivó profundos dilemas y debates intelectuales. Algunos teólogos asociaron infinito a Dios, mientras que otros lo negaron alegando de nuevo que el infinito era un concepto potencial, no real.

Avanzando en el tiempo nos encontramos con la invención del cálculo diferencial.  Newton y Leibniz de forma independiente descubrieron los “infinitesimales“. Cantidades infinitamente pequeñas que, de forma misteriosa, cambiaron la historia del conocimiento humano. A partir de ese momento los diferenciales permitieron resolver incontables problemas matemáticos, físicos, de ingeniería, etc. Sin embargo el concepto “diferencial” no se salvó de nuevo de la discusión filosófica.  Hasta el siglo XX nada menos el concepto diferencial se mantuvo en debate en cuanto a su verdadera naturaleza: ¿eran cantidades muy pequeñas o cero? Y en el primer caso, ¿cuánto de pequeñas?

cantor2Pero mi favorito, sin lugar a dudas, es Cantor. Este matemático de finales del XIX revolucionó la materia con sus avances en el concepto del infinito, y de paso se volvió loco en el intento. Para entender a Cantor primero hay que entender lo que es un número en la Teoria de Conjuntos. Si varios conjuntos pueden relacionar sus elementos uno-a-uno entonces podemos decir que tienen el mismo cardinal. De esta manera lo que llamamos “número cinco” es el cardinal que corresponde a todos los conjuntos posibles con cinco elementos. Cantor observó que la secuencia infinita de números  naturales 1, 2, 3, 4, 5… podría entenderse en el marco de la Teoría de Conjuntos otorgándole una cardinalidad que llamó Aleph-0. Cantor definió un conjunto infinito como aquel que puede establecer una  relación uno-a-uno con subconjuntos propios. Por ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, 4, 5…  se puede relacionar uno-a-uno con la secuencia de números pares (1→2, 2→4, 3→6…), con los impares, con las fracciones (racionales), con los primos, etc. Todos estos conjuntos tenían el mísmo “numero” de infinitos elementos, en palabras mas correctas, la misma cardinalidad.

Pero el verdadero salto conceptual de Cantor fue ir “más allá del infinito”, preguntándose si los numeros reales en el intervalo (0,1),  es decir, todos los números decimales racionales e irracionales entre cero y uno, tendrían la misma cardinalidad Aleph-0 que los números naturales. De una manera muy sencilla a través del proceso de diagonalización demostró que no se podían poner en relación uno-a-uno los números reales y los naturales. Había MÁS números infinitos reales que números infinitos naturales! ¿Cuántos más infinitos?

Si pensamos en la cantidad de partes que podemos hacer con un conjunto dado podremos visualizar un poco el asunto. Por ejemplo con 3 manzanas (ABC) podemos obtener todos estos subconjuntos: 0, A, B, C, AB, AC,  BC, ABC. Es decír matemáticamente 2 elevado a 3. Para N elementos el números de subconjuntos serán 2 elevado a N. Volviendo al infinito, se demuestra que el “número” de reales es 2 elevado a Aleph-0. En otras palabras, la “cantidad” de infinitos números reales es equivalente a la “cantidad” de infinitos subconjuntos que se pueden construir con los infinitos números naturales 1, 2, 3, 4…Marea un poco ¿verdad?

Cantor fue más allá del infinito “natural” y creó toda una jerarquía de infinitos, Aleph-0, Aleph-1, Aleph-2…así hasta el infinito del infinito, con un rigor matemático que le generó una gran animadversión especialmente por parte de un rígido Kronecker. Esta lucha académica unida a la complejidad intelectual de su propia investigación le produjo crisis mentales cada vez más frecuentes así hasta su muerte. Creo que Cantor merecerá una nueva entrada en este blog.

En resumen, un libro muy recomendable para aquél que busque entender que quería decír Buzz Lightyear exactamente. buzz

enero 11, 2009 Posted by | filosofía, libros, matemática | 1 comentario