Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Planilandia e hiperesferas (II)

La historia anterior de Planilandia nos ha permitido entender como una superficie aparentemente “plana” para sus habitantes, puede tener una curvatura en un espacio de mayor dimensión. Dependiendo del tipo de curvatura podríamos encontrar las siguientes formas (sigo utilizando este enlace de referencia):

– Superficie de curvatura nula. Un plano infinitamente extenso; una cinta de Mobius; un toro. En los dos últimos casos Planilandia es finita. Espacio “euclideo”.
– Superficie de curvatura positiva: una esfera. No existen paralelas. El triángulo suma más de 180º.
– Superficie de curvatura negativa: un hiperboloide; un circulo de Poincaré. El triangulo suma menos de 180º.

Ahora estamos más preparados para imaginar cual podría ser nuestro caso en nuestro mundo de 3 dimensiones. Debemos tomar la hipótesis de que nuestro espacio de 3 dimensiones podria estar sumergido en un espacio de más dimensiones. Tal vez 4, 5, o más. Las teorías físicas así lo sugieren, ya que determinadas teorías de unificación solo encajan en espacios de dimensión superior (véase el excelente libro Hiperespacio de Michio Kaku). De momento podemos trabajar con el espacio de 4 dimensiones. Ojo, no intentemos imaginar el espacio de 4 dimensiones, esta fuera de nuestra capacidad perceptiva (aunque algunos dicen que si pueden).

Siguiendo la analogía geométrica de Planilandia, nuestro espacio de 3 dimensiones podría tener curvatura nula, positiva o negativa.

– Espacio plano R3: curvatura nula (espacio euclideo). Extensión infinita.
– Espacio plano T3: curvatura nula, hipertoro. Extensión finita.
– Espacio plano K3: curvatura nula, botella de Klein. Extensión finita.
– Espacio hiperbólico H3: curvatura negativa, extensión infinita.
– Hiperesfera S3: curvatura positiva, extensión finita.

En el espacio R3 si navegamos en cualquier dirección nunca regresaremos al punto de partida. En el espacio T3 de un hipertoro podemos pensar en la analogía de la pantalla cuadrada de un videojuego: si salimos por un borde, entramos por el borde opuesto (es como si viéramos nuestro universo repetirse de manera indefinida a modo de espejo). En el espacio K3 vemos algo similar al anterior, pero cada vez que cruzamos la frontera se invierten las direcciones.

La hiperesfera S3 tambien llamada  3-esfera responde a la ecuación (x2 + y2 + z2 + w2 = r2) y debemos recordar que estamos describiendo un espacio de dimensión 3 dentro de un hiperespacio de dimensión 4. Si nuestro espacio es una hiperesfera, podríamos volar en una dirección y regresaríamos por la opuesta, al igual que sucedía en la Planilandia esférica. Una hiperesfera no es una bola flotando en el espacio, es un espacio de 3 dimensiones con curvatura. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos, se cortarán a cierta distancia debido a la curvatura del espacio. En este caso el universo es además finito (como lo era la Planilandia esfera).

Las siguientes imágenes muestran una divertida imagen de un universo con forma de hipertoro (izquierda) y botella de Klein (derecha) que responden a espacios planos.
Véase el documento completo aqui: http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/sos/

3t 3k

¿Qué forma tiene nuestro universo? Medir la curvatura global del espacio es complicado, podemos conocer la curvatura local pero no sabemos a ciencia cierta cual es la forma global del espacio. Sin embargo las ultimas pistas de los cosmólogos indican que el espacio es prácticamente plano (curvatura nula) y con velocidad de expansión ligeramente acelerada. Si esto es así y la velocidad de expansión aumenta, el futuro del Universo será la “muerte térmica” ya que la expansión terminará desconectando toda interacción entre la materia, desvaneciéndose en una oscuridad infinita. Parece un final sin sentido, y personalmente me gustaría más un modelo de “big crunch” donde el Universo entero se reunifica y colapsa para formar, tal vez, la semilla de un nuevo Universo. Pero las mediciones no dicen eso de momento…

big_crunch

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febrero 21, 2009 - Posted by | matemática

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