Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Planilandia e hiperesferas (I)

En 1884 Edwin Abbott publicó Flatland (Planilandia). Concebido como sátira a la jerarquía victoriana de la época, tambien cuenta una bonita historia sobre las dimensiones.

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Planilandia es un mundo de dos dimensiones donde sus habitantes sólo conciben dos direcciones principales: adelante/atrás e izquierda/derecha. El concepto arriba/abajo no existe. Aunque nos imaginemos el mundo de Planilandia desde arriba con sus figurillas parecidas a los dibujos en un papel, sus habitantes solo “ven” las fronteras de dicho objeto. Por ejemplo, una circunferencia en Planilandia se observa como un segmento que presenta siempre la misma forma visto alrededor. En Planilandia los seres no pueden tener tubo digestivo con entrada y salida como nosotros porque les separaría en dos mitades desconectadas.

El protagonista de Planilandia, el señor Cuadrado, recibe  una visita de “Esfera”, una entidad desconocida en Planilandia que dice provenir de un mundo de 3 dimensiones. El señor Cuadrado no puede captar la esencia de Esfera, solo puede observar su intersección con el espacio de dos dimensiones de Planilandia: circunferencias. Según Esfera se desplaza y mueve, las circunferencias van cambiando de tamaño, incluso a veces desaparecen y aparecen en otro lugar, algo que el señor Cuadrado nunca había visto antes. Pero el señor Cuadrado es perspicaz y averigua correctamente que el mundo del que proviene Esfera tiene más dimensiones que el suyo y por lo tanto pueden producirse estos fenómenos, inexplicables para el resto de seres de Planilandia. Una de las veces Esfera agarra a Cuadrado y le ofrece un “vuelo” por la tercera dimensión. Los habitantes de Planilandia ven a Cuadrado desaparecer y aparecer misteriosamente en otro lugar mientras Cuadrado se recupera del mareo.

Esta experiencia hizo al señor Cuadrado pensar si podría suceder que su mundo estuviera inmerso en espacios de mayor dimensión. Soñaba frecuentemente con un mundo de una dimensión: Linealandia. En ese mundo de una sola dimensión, los seres vivos solo entendían la dirección adelante/atrás. Pero esa linea podría extenderse de manera infinita o curvarse en círculo. ¿Podrían los habitantes de Linealandia darse cuenta? Claro. Si la línea fuera circular un habitante de Linealandia podría dar la vuelta completa y volver al mismo punto de partida.

De igual forma, el señor Cuadrado piensa si Planilandia podría estar “curvado” en un espacio con una dimensión extra. Pero este pensamiento se considera herético en Planilandia y el señor Cuadrado es encarcelado…

homero3dVeamos ahora que investigación podría realizar Cuadrado en su suposición de que Planilandia reside en un espacio de 3 dimensiones. Cuadrado no tiene ninguna manera de entender la tercera dimensión pero sabe que si Planilandia se curva de cierta manera en sí mismo como el mundo circular de Linealandia, podría tomar una dirección y volver por la dirección opuesta al punto original. Cuadrado, como buen matemático, deduce que sumando los ángulos de un triangulo puede calcular la curvatura de Planilandia. Si la suma da 180º será curvatura nula, mayor de 180º para curvatura positiva y menor para curvatura negativa (véase mi otra entrada).

Nosotros podemos suponer Planilandia como un plano de dos dimensiones infinitamente extenso (curvatura cero) o tal vez como una esfera (curvatura positiva). El señor Cuadrado no puede imaginar lo que nosotros imaginamos, ya que él está restringido a su percepción de 2 dimensiones, pero si su mundo es realmente esférico podrá dar la vuelta andando en cualquier dirección. Si su mundo es plano (curvatura cero) nunca regresará al punto de partida.

Se cuenta que el señor Cuadrado se puso en marcha en su demostración de que su mundo tenía curvatura positiva y volvería al punto de origen simplemente andando en línea recta. Cuando volvió todos sus amigos se quedaron asombrados, el señor Cuadrado había quedado invertido de derecha a izquierda como si fuera su imagen en el espejo. ¿Qué forma podría tener Planilandia en el espacio de 3 dimensiones para hacer eso al señor Cuadrado?

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febrero 16, 2009 - Posted by | matemática

1 comentario »

  1. […] e hiperesferas (II) La historia anterior de Planilandia nos ha permitido entender como una superficie aparentemente “plana” para […]

    Pingback por Planilandia e hiperesferas (II) « Hiperesfera | febrero 21, 2009


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