Hiperesfera

por Victor Gonzalez

El quinto postulado

pitagorasTodos conocemos el teorema de Pitágoras. Nos lo enseñan en la escuela hasta que nos lo sabemos de memoria: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Sin embargo esto es solo la punta del iceberg de una historia más interesante.

Todo comienza con Euclides y su obra Los Elementos en la cual se exponen una serie de postulados formales geométricos, lo que más tarde llamaremos “geometría euclidiana“. La geometría euclidiana es la geometría que todos intuimos de forma natural en el plano, con axiomas del tipo: “entre dos puntos solo existe una recta”. Los postulados de Euclides representan los axiomas fundamentales a partir de los cuales se puede construir cualquier teorema geométrico.

El quinto postulado de Euclides era un poco más complicado, decía algo así como:

angulos1“Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.”

Que puede hacerse equivalente a una forma más sencilla:

“Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.”

A primera vista esto es evidente, pero durante siglos se mantuvo una pregunta en el aire: ¿era el quinto postulado realmente una verdad evidente (un axioma) o podía ser deducido del resto de postulados previos? Sin embargo a lo largo de los siglos los intentos de demostración no tuvieron éxito.

Todo parecía indicar que el quinto postulado era un axioma no deducible de otros axiomas euclideos. Un axioma es por definición indemostrable, es una verdad dada a priori a partir de la cual construimos el resto del “castillo” matemático. Sin embargo, la indemostrabilidad del quinto postulado no era tan fácil de aceptar. Parecía indicar la imposibilidad de demostrar que dos rectas paralelas (según la definición del quinto postulado) no se cortarían nunca. Esto recuerda al problema metafísico del infinito. ¿Cómo podemos demostrar que las rectas nunca se cortarán en su prolongación infinita? Una cosa es la intuición que podamos tener y otra el problema de la demostración matemática formal.

geosphere4El gran genio matemático Gauss le dio la vuelta al problema pensando que podrían existir geometrías donde el quinto postulado no fuera cierto. Hasta aquella fecha, incluyendo la época de Gauss, pensar en otro tipo de geometrías no tenía sentido. La geometría euclidea era la unica verdadera. Se podían construir rectas paralelas a otras siguiendo la definición del quinto postulado. Pero Gauss pensaba en la esfera (a la sazón trabajó como topógrafo) y en la posibilidad de una geometría esférica que cumplía todos los axiomas euclideos menos el quinto postulado.

La geometría esférica era consistente con los cuatro axiomas previos de Euclides, y sin embargo no se podía crear ninguna recta paralela a otra (las rectas en este caso son las geodésicas). Gauss no publicó sus resultados por ser demasiado extravagantes para la época según su propio criterio.

geometriasEl salto definitivo se produjo en el siglo XIX con el desarrollo formal de las geometrías no-euclideas que negaban el quinto postulado. De esta manera se generalizó el asunto con la geometría elíptica desarrollada por Riemann, y la geometría hiperbólica desarrollada por Lobachevsky (entre otros).

Estas geometrías correspondían a espacios de curvatura positiva (como la esfera) o de curvatura negativa (como el hiperboloide). La geometría euclidea clásica correspondería a un espacio de curvatura cero (el espacio “plano”).

Es fácil confundirse con estos conceptos. Por ejemplo podemos definir una superficie esférica en un espacio euclídeo plano. De hecho es la geometría habitual que estudiamos durante años en la escuela. Pero también podemos pensar que el mismo espacio tiene una geometría esférica. La pregunta es: ¿qué geometría es más útil para entender el mundo físico y en qué casos conviene utilizar una u otra?

Pero hemos dejado atrás el teorema de Pitágoras. Volvamos a él por un momento. El quinto postulado se puede hacer equivalente al teorema de Pitágoras. Por consiguiente, si negamos el quinto postulado, negamos Pitágoras. Esto significa que un triángulo rectángulo en geometría no-euclidea no cumple el teorema al igual que la suma de sus tres ángulos no suma 180 grados. El teorema de Pitágoras podemos considerarlo una definición axiomática “a priori” válida en espacios de geometría plana.

Evidentemente la geometría euclidea es muy útil. La mayoría de las mediciones locales, análisis de longitudes, áreas y volúmenes las podemos realizar con geometría euclídea. Sin embargo, si tuviéramos que hacer operaciones geométricas sobre grandes distancias en la Tierra sería conveniente utilizar la geometría esférica, ya que la Tierra se parece más a una esfera que un plano.

Mucho más interesante es la pregunta sobre la geometría del universo. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos ¿se mantendrán paralelos (espacio plano), se cortarán (espacio de curvatura positiva) o se alejarán (espacio de curvatura negativa)? Einstein se apoyó en la geometría no-euclidea para desarrollar la Teoría de la Relatividad General. Los rayos de luz siguen trayectorias en función de la curvatura del espacio, y la curvatura depende de la masa y la energía. Según Einstein, si conocemos la distribución de la masa y la energía en el Universo conoceremos su geometría en cada punto del mismo y por lo tanto la forma en la que se mueven y aceleran los objetos.

La cosmología intenta resolver cual es el valor global de la curvatura del Universo, si es plano, cerrado (curvatura positiva) o abierto (curvatura negativa) y de momento todos los indicadores apuntan a un universo prácticamente plano cuya expansión se está acelerando. Pero esta es otra historia para otra entrada.

Más información:
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-i-el-quinto-postulado.html

http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/02-03/PG02-03-munoz.pdf

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febrero 7, 2009 - Posted by | matemática

6 comentarios »

  1. El segundo enlace es muy recomendable para una revisión más técnica de los tipos de geometría.

    http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/02-03/PG02-03-munoz.pdf

    Comentario por Victor Gonzalez | febrero 8, 2009

  2. Mira este:
    http://www.integralscience.org/sphere.html

    Comentario por Jose Negrete | febrero 12, 2009

  3. […] Veamos ahora que investigación podría realizar Cuadrado en su suposición de que Planilandia reside en un espacio de 3 dimensiones. Cuadrado no tiene ninguna manera de entender la tercera dimensión pero sabe que si Planilandia se curva de cierta manera en sí mismo como el mundo circular de Linealandia, podría tomar una dirección y volver por la dirección opuesta al punto original. Cuadrado, como buen matemático, deduce que sumando los ángulos de un triangulo puede calcular la curvatura de Planilandia. Si la suma da 180º será curvatura nula, mayor de 180º para curvatura positiva y menor para curvatura negativa (véase mi otra entrada). […]

    Pingback por Planilandia, espacio e hiperesferas (I) « Hiperesfera | febrero 16, 2009

  4. mi profesor me puso a invertigar sobre un postulado que en el año 2009 gano 2 millones de dolares quisiera saber si se trata de este postulado porfavor respondame… y si saben algo sobre el postulado universal que gano 2 millones de dolares porfavor digamen cual es?

    Comentario por diana lescure | abril 27, 2010

  5. No, posiblemente sea la Conjetura de Poincaré, que la resolvió Grigori Perelman, aunque renunció al premio. Buscando estos datos en Google se puede ver la historia.

    Comentario por Victor Gonzalez | abril 27, 2010

  6. el profesor mensiona sobre un prefesor que en inglaterra gano los 2 millones. no nos dijo el nombre solo investiguen, sobre el profesor que gano los 2 millones por resolver el POSTULADO Nº8 no dio ninguna informacion, mas en el trabajo me piden los procedimientos que ultizo para resolver, las formula y algo sobre los despejes… este trabajo me esta complicado la vida le agradesco por la informacion me ayudo bastante

    Comentario por diana lescure | abril 29, 2010


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