Hiperesfera

por Victor Gonzalez

México o Méjico

solesMis viajes a México me han hecho aprender y preguntarme sobre muchas cosas de su historia. Una de mis dudas estaba relacionada con la famosa “x” de la palabra México. ¿Por qué se escribe con “x” pero se pronuncia con “j”?

En castellano hay muchas palabras que se escribían antiguamente con “x” pero posteriormente derivó a “j”. Podemos pensar en “Xunta”, “Don Quixote”, “Xavier”, “Ximenez” y otras. Muchas se mantienen así en gallego. En wikipedia se puede leer que en castellano medieval la letra “x” representaba el fonema “sh” como en gallego o inglés “shop”, “shame” por lo tanto podemos pensar que todas esas palabras con “x” se pronunciaban de la manera: “Shunta”, “Don Quishote”, “Shavier”, “Shimenez”…

¿Cómo sobrevino entonces la letra “j” y el cambio de pronunciación? En wikipedia explica que hubo una evolución pero no dice porqué. Sin embargo en otra entrada de wikipedia explica el asunto de una manera concisa. Los conquistadores, de origen extremeño o andaluz, con influencia árabe, tendían a una pronunciación más gutural de los sonidos “x” originales. Esto lo podemos aún observar en la tendencia del castellano a convertir frases como “es que…” en “ej que…” y similares. Tiene su lógica, el árabe es muy gutural y el fonema “j” se usa mucho.

Del texto de wikipedia:

“[…] Pero como para suavizar ésta aún no estaba adoptado el acento circunflejo sobre la vocal siguiente, y los conquistadores eran en su mayoridad extremeños y andaluces, o árabes en su pronunciación, pronunciaron fuerte todas las x escritas por los misioneros, y llenaron de letras guturales los términos que adoptaron de la lengua mexicana, la cual no admite alguna. Por eso pronunciaron los españoles México (Méjico), aunque los indios no pronuncian sino México (Mescico)…”

De todo ello podemos deducir que los aztecas (su verdadero nombre era mexica) pronunciaban en su lengua nahuatl “Meshíco” (con sh y acento en la í) pero los conquistadores lo pronunciaban “Méjico” (con j y acento en la é), aunque reconocian el fonema sh y por lo tanto lo escribieron “Mexico”. Curiosamente esa palabra mantuvo la “x” congelada en el tiempo.

Otra curiosidad es que en inglés Mexico se pronuncia de forma mas similar al original en nahuatl.

febrero 27, 2009 Posted by | historia | Deja un comentario

Planilandia e hiperesferas (II)

La historia anterior de Planilandia nos ha permitido entender como una superficie aparentemente “plana” para sus habitantes, puede tener una curvatura en un espacio de mayor dimensión. Dependiendo del tipo de curvatura podríamos encontrar las siguientes formas (sigo utilizando este enlace de referencia):

– Superficie de curvatura nula. Un plano infinitamente extenso; una cinta de Mobius; un toro. En los dos últimos casos Planilandia es finita. Espacio “euclideo”.
– Superficie de curvatura positiva: una esfera. No existen paralelas. El triángulo suma más de 180º.
– Superficie de curvatura negativa: un hiperboloide; un circulo de Poincaré. El triangulo suma menos de 180º.

Ahora estamos más preparados para imaginar cual podría ser nuestro caso en nuestro mundo de 3 dimensiones. Debemos tomar la hipótesis de que nuestro espacio de 3 dimensiones podria estar sumergido en un espacio de más dimensiones. Tal vez 4, 5, o más. Las teorías físicas así lo sugieren, ya que determinadas teorías de unificación solo encajan en espacios de dimensión superior (véase el excelente libro Hiperespacio de Michio Kaku). De momento podemos trabajar con el espacio de 4 dimensiones. Ojo, no intentemos imaginar el espacio de 4 dimensiones, esta fuera de nuestra capacidad perceptiva (aunque algunos dicen que si pueden).

Siguiendo la analogía geométrica de Planilandia, nuestro espacio de 3 dimensiones podría tener curvatura nula, positiva o negativa.

– Espacio plano R3: curvatura nula (espacio euclideo). Extensión infinita.
– Espacio plano T3: curvatura nula, hipertoro. Extensión finita.
– Espacio plano K3: curvatura nula, botella de Klein. Extensión finita.
– Espacio hiperbólico H3: curvatura negativa, extensión infinita.
– Hiperesfera S3: curvatura positiva, extensión finita.

En el espacio R3 si navegamos en cualquier dirección nunca regresaremos al punto de partida. En el espacio T3 de un hipertoro podemos pensar en la analogía de la pantalla cuadrada de un videojuego: si salimos por un borde, entramos por el borde opuesto (es como si viéramos nuestro universo repetirse de manera indefinida a modo de espejo). En el espacio K3 vemos algo similar al anterior, pero cada vez que cruzamos la frontera se invierten las direcciones.

La hiperesfera S3 tambien llamada  3-esfera responde a la ecuación (x2 + y2 + z2 + w2 = r2) y debemos recordar que estamos describiendo un espacio de dimensión 3 dentro de un hiperespacio de dimensión 4. Si nuestro espacio es una hiperesfera, podríamos volar en una dirección y regresaríamos por la opuesta, al igual que sucedía en la Planilandia esférica. Una hiperesfera no es una bola flotando en el espacio, es un espacio de 3 dimensiones con curvatura. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos, se cortarán a cierta distancia debido a la curvatura del espacio. En este caso el universo es además finito (como lo era la Planilandia esfera).

Las siguientes imágenes muestran una divertida imagen de un universo con forma de hipertoro (izquierda) y botella de Klein (derecha) que responden a espacios planos.
Véase el documento completo aqui: http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/sos/

3t 3k

¿Qué forma tiene nuestro universo? Medir la curvatura global del espacio es complicado, podemos conocer la curvatura local pero no sabemos a ciencia cierta cual es la forma global del espacio. Sin embargo las ultimas pistas de los cosmólogos indican que el espacio es prácticamente plano (curvatura nula) y con velocidad de expansión ligeramente acelerada. Si esto es así y la velocidad de expansión aumenta, el futuro del Universo será la “muerte térmica” ya que la expansión terminará desconectando toda interacción entre la materia, desvaneciéndose en una oscuridad infinita. Parece un final sin sentido, y personalmente me gustaría más un modelo de “big crunch” donde el Universo entero se reunifica y colapsa para formar, tal vez, la semilla de un nuevo Universo. Pero las mediciones no dicen eso de momento…

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febrero 21, 2009 Posted by | matemática | Deja un comentario

Planilandia e hiperesferas (I)

En 1884 Edwin Abbott publicó Flatland (Planilandia). Concebido como sátira a la jerarquía victoriana de la época, tambien cuenta una bonita historia sobre las dimensiones.

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Planilandia es un mundo de dos dimensiones donde sus habitantes sólo conciben dos direcciones principales: adelante/atrás e izquierda/derecha. El concepto arriba/abajo no existe. Aunque nos imaginemos el mundo de Planilandia desde arriba con sus figurillas parecidas a los dibujos en un papel, sus habitantes solo “ven” las fronteras de dicho objeto. Por ejemplo, una circunferencia en Planilandia se observa como un segmento que presenta siempre la misma forma visto alrededor. En Planilandia los seres no pueden tener tubo digestivo con entrada y salida como nosotros porque les separaría en dos mitades desconectadas.

El protagonista de Planilandia, el señor Cuadrado, recibe  una visita de “Esfera”, una entidad desconocida en Planilandia que dice provenir de un mundo de 3 dimensiones. El señor Cuadrado no puede captar la esencia de Esfera, solo puede observar su intersección con el espacio de dos dimensiones de Planilandia: circunferencias. Según Esfera se desplaza y mueve, las circunferencias van cambiando de tamaño, incluso a veces desaparecen y aparecen en otro lugar, algo que el señor Cuadrado nunca había visto antes. Pero el señor Cuadrado es perspicaz y averigua correctamente que el mundo del que proviene Esfera tiene más dimensiones que el suyo y por lo tanto pueden producirse estos fenómenos, inexplicables para el resto de seres de Planilandia. Una de las veces Esfera agarra a Cuadrado y le ofrece un “vuelo” por la tercera dimensión. Los habitantes de Planilandia ven a Cuadrado desaparecer y aparecer misteriosamente en otro lugar mientras Cuadrado se recupera del mareo.

Esta experiencia hizo al señor Cuadrado pensar si podría suceder que su mundo estuviera inmerso en espacios de mayor dimensión. Soñaba frecuentemente con un mundo de una dimensión: Linealandia. En ese mundo de una sola dimensión, los seres vivos solo entendían la dirección adelante/atrás. Pero esa linea podría extenderse de manera infinita o curvarse en círculo. ¿Podrían los habitantes de Linealandia darse cuenta? Claro. Si la línea fuera circular un habitante de Linealandia podría dar la vuelta completa y volver al mismo punto de partida.

De igual forma, el señor Cuadrado piensa si Planilandia podría estar “curvado” en un espacio con una dimensión extra. Pero este pensamiento se considera herético en Planilandia y el señor Cuadrado es encarcelado…

homero3dVeamos ahora que investigación podría realizar Cuadrado en su suposición de que Planilandia reside en un espacio de 3 dimensiones. Cuadrado no tiene ninguna manera de entender la tercera dimensión pero sabe que si Planilandia se curva de cierta manera en sí mismo como el mundo circular de Linealandia, podría tomar una dirección y volver por la dirección opuesta al punto original. Cuadrado, como buen matemático, deduce que sumando los ángulos de un triangulo puede calcular la curvatura de Planilandia. Si la suma da 180º será curvatura nula, mayor de 180º para curvatura positiva y menor para curvatura negativa (véase mi otra entrada).

Nosotros podemos suponer Planilandia como un plano de dos dimensiones infinitamente extenso (curvatura cero) o tal vez como una esfera (curvatura positiva). El señor Cuadrado no puede imaginar lo que nosotros imaginamos, ya que él está restringido a su percepción de 2 dimensiones, pero si su mundo es realmente esférico podrá dar la vuelta andando en cualquier dirección. Si su mundo es plano (curvatura cero) nunca regresará al punto de partida.

Se cuenta que el señor Cuadrado se puso en marcha en su demostración de que su mundo tenía curvatura positiva y volvería al punto de origen simplemente andando en línea recta. Cuando volvió todos sus amigos se quedaron asombrados, el señor Cuadrado había quedado invertido de derecha a izquierda como si fuera su imagen en el espejo. ¿Qué forma podría tener Planilandia en el espacio de 3 dimensiones para hacer eso al señor Cuadrado?

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febrero 16, 2009 Posted by | matemática | 1 comentario

Selección de grupo

En el número de enero de Investigación y Ciencia, monográfico sobre Darwin y la Teoría de la Evolución, se puede encontrar el artículo: “Evolución por el bien del grupo” por David Sloan Wilson y Edward O. Wilson

El concepto de selección de grupo ha sido largamente discutido en el marco de la teoría evolutiva. Propone la idea de que la selección puede operar a niveles superiores al individuo, como un grupo o la misma sociedad. Precisamente E. O. Wilson es el creador de la sociobiología, campo científico que aborda estas cuestiones entre otras. La selección de grupo entra en conflicto con la selección clásica darwiniana que opera a nivel de individuo. Podríamos decir que, si la selección de grupo es válida, algunos individuos correrán mas riesgos que otros, algunos se aprovecharán y otros serán sometidos o sufrirán siendo todo ello “bueno” si el grupo tiene mayores ventajas respecto a otro. “Bueno” no tiene significado moral en este caso, sino que es simplemente una medida de la perpetuación de las propiedades del grupo.

El artículo propone una teoría multinivel, en la cual los niveles de selección pueden operar en jerarquía. Conocemos como a nivel genético se produce evolución. Recuérdese el concepto gen egoista de Richard Dawkins que reduce la evolución a una lucha entre genes que buscan su perpetuación utilizando el cuerpo como vehículo. La teoría evolutiva encontró un gran aliado en los descubrimientos genéticos que permitieron reformular la teoría a través de conceptos como mutación, recombinación, copia, errores de transcripción o deriva genética.

Por otra parte el comportamiento social y la relación entre miembros del grupo podría estar sometido a reglas de selección natural. Un grupo, visto como superentidad, podría estar más adaptado que otros y perpetuar sus “genes” a la siguiente generación (de grupos). Los genes serían el conjunto de relaciones, cultura, normas, etc. entre individuos de ese grupo.

¿Dónde esta el supuesto conflicto? La selección darwiniana clásica predice que los genes de individuos no adaptados no se perpetuarán, ya que su probabilidad de reproducción es menor en la competencia por los recursos. Y sin embargo la cooperación entre individuos podría generar modelos emergentes de comportamiento grupal en donde los menos adaptados contribuyen al bien del grupo de alguna manera y por lo tanto se perpetuan puesto que el grupo sobrevive. Incluso Darwin lo sospechaba.

Este enfoque abre líneas de pensamiento interesantes. Por ejemplo la creación de superindividuos iguales podría ser destructiva a nivel de grupo. Los insectos sociales (hormigas, termitas, abejas) son un ejemplo extremo de superorganismos donde el individuo se encuentra supeditado a la eficacia del sistema y acepta su papel. Otro ejemplo son las células de nuestro cuerpo que “mueren” en beneficio del cuerpo (lo contrario es cáncer).

Me identifico con este razonamiento. Si podemos encontrar una jerarquía autoorganizada a diferentes niveles: átomos, moléculas, células, individuos… ¿por qué no a nivel de grupo o sociedad? Y ya puestos, añadamos el concepto de selección natural (adaptación a las leyes dinámicas) en cada nivel, cada uno operando e influyendo en los niveles anexos.

Leyendo el artículo encontré este ejemplo que me pareció excelente para entender el concepto de selección de grupo:

“La selección de grupo puede estudiarse en el laboratorio. […] Williams Muir, de la Universidad Purdue, comparó dos tipos de selección para la producción de huevos en gallinas. Tenía unas gallinas en jaulas, varias en cada jaula. En el primer experimento, las gallinas más productivas de cada jaula criaron la siguiente generación (selección individual). En el segundo experimento, todas las gallinas de las jaulas más productivas criaron la siguiente generación (selección de grupo). En el primer experimento, las gallinas más productivas de cada jaula lo eran principalmente por su agresividad hacia las otras gallinas. Después de seis generaciones se obtuvo una línea hiperagresiva de gallinas que se desplumaban unas a otras en incesantes ataques, con frecuencia letales. La producción de huevos cayó en picado en el transcurso del experimento, a pesar de que en cada generación se habían seleccionado las gallinas más productivas. En el segundo experimento, la selección entre grupos produjo líneas dóciles de gallinas: la productividad creció un 160 % en seis generaciones.”

cebras

febrero 12, 2009 Posted by | otros | 1 comentario

CO2, inocentes o culpables?

En el libro Sustainable Energy – without the hot air aparecen unas gráficas interesantes sobre la emisión de CO2 a la atmósfera. Las medidas han sido tomadas de datos históricos y mediciones en aire atrapado durante años en hielo. En 1769 James Watt inventa la máquina de vapor y puede considerarse el comienzo de la revolución industrial.

En el gráfico superior vemos la concentración de CO2, y en el inferior el aumento en la producción exponencial de carbón (recta sobre escala logarítmica). El libro no opina, solo expone datos.

Algunos piensan que el ser humano no es responsable de este proceso, achacándolo a causas naturales. Estos gráficos pueden ser una curiosa casualidad.

co2

febrero 10, 2009 Posted by | otros | 2 comentarios

El quinto postulado

pitagorasTodos conocemos el teorema de Pitágoras. Nos lo enseñan en la escuela hasta que nos lo sabemos de memoria: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Sin embargo esto es solo la punta del iceberg de una historia más interesante.

Todo comienza con Euclides y su obra Los Elementos en la cual se exponen una serie de postulados formales geométricos, lo que más tarde llamaremos “geometría euclidiana“. La geometría euclidiana es la geometría que todos intuimos de forma natural en el plano, con axiomas del tipo: “entre dos puntos solo existe una recta”. Los postulados de Euclides representan los axiomas fundamentales a partir de los cuales se puede construir cualquier teorema geométrico.

El quinto postulado de Euclides era un poco más complicado, decía algo así como:

angulos1“Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.”

Que puede hacerse equivalente a una forma más sencilla:

“Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.”

A primera vista esto es evidente, pero durante siglos se mantuvo una pregunta en el aire: ¿era el quinto postulado realmente una verdad evidente (un axioma) o podía ser deducido del resto de postulados previos? Sin embargo a lo largo de los siglos los intentos de demostración no tuvieron éxito.

Todo parecía indicar que el quinto postulado era un axioma no deducible de otros axiomas euclideos. Un axioma es por definición indemostrable, es una verdad dada a priori a partir de la cual construimos el resto del “castillo” matemático. Sin embargo, la indemostrabilidad del quinto postulado no era tan fácil de aceptar. Parecía indicar la imposibilidad de demostrar que dos rectas paralelas (según la definición del quinto postulado) no se cortarían nunca. Esto recuerda al problema metafísico del infinito. ¿Cómo podemos demostrar que las rectas nunca se cortarán en su prolongación infinita? Una cosa es la intuición que podamos tener y otra el problema de la demostración matemática formal.

geosphere4El gran genio matemático Gauss le dio la vuelta al problema pensando que podrían existir geometrías donde el quinto postulado no fuera cierto. Hasta aquella fecha, incluyendo la época de Gauss, pensar en otro tipo de geometrías no tenía sentido. La geometría euclidea era la unica verdadera. Se podían construir rectas paralelas a otras siguiendo la definición del quinto postulado. Pero Gauss pensaba en la esfera (a la sazón trabajó como topógrafo) y en la posibilidad de una geometría esférica que cumplía todos los axiomas euclideos menos el quinto postulado.

La geometría esférica era consistente con los cuatro axiomas previos de Euclides, y sin embargo no se podía crear ninguna recta paralela a otra (las rectas en este caso son las geodésicas). Gauss no publicó sus resultados por ser demasiado extravagantes para la época según su propio criterio.

geometriasEl salto definitivo se produjo en el siglo XIX con el desarrollo formal de las geometrías no-euclideas que negaban el quinto postulado. De esta manera se generalizó el asunto con la geometría elíptica desarrollada por Riemann, y la geometría hiperbólica desarrollada por Lobachevsky (entre otros).

Estas geometrías correspondían a espacios de curvatura positiva (como la esfera) o de curvatura negativa (como el hiperboloide). La geometría euclidea clásica correspondería a un espacio de curvatura cero (el espacio “plano”).

Es fácil confundirse con estos conceptos. Por ejemplo podemos definir una superficie esférica en un espacio euclídeo plano. De hecho es la geometría habitual que estudiamos durante años en la escuela. Pero también podemos pensar que el mismo espacio tiene una geometría esférica. La pregunta es: ¿qué geometría es más útil para entender el mundo físico y en qué casos conviene utilizar una u otra?

Pero hemos dejado atrás el teorema de Pitágoras. Volvamos a él por un momento. El quinto postulado se puede hacer equivalente al teorema de Pitágoras. Por consiguiente, si negamos el quinto postulado, negamos Pitágoras. Esto significa que un triángulo rectángulo en geometría no-euclidea no cumple el teorema al igual que la suma de sus tres ángulos no suma 180 grados. El teorema de Pitágoras podemos considerarlo una definición axiomática “a priori” válida en espacios de geometría plana.

Evidentemente la geometría euclidea es muy útil. La mayoría de las mediciones locales, análisis de longitudes, áreas y volúmenes las podemos realizar con geometría euclídea. Sin embargo, si tuviéramos que hacer operaciones geométricas sobre grandes distancias en la Tierra sería conveniente utilizar la geometría esférica, ya que la Tierra se parece más a una esfera que un plano.

Mucho más interesante es la pregunta sobre la geometría del universo. Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos ¿se mantendrán paralelos (espacio plano), se cortarán (espacio de curvatura positiva) o se alejarán (espacio de curvatura negativa)? Einstein se apoyó en la geometría no-euclidea para desarrollar la Teoría de la Relatividad General. Los rayos de luz siguen trayectorias en función de la curvatura del espacio, y la curvatura depende de la masa y la energía. Según Einstein, si conocemos la distribución de la masa y la energía en el Universo conoceremos su geometría en cada punto del mismo y por lo tanto la forma en la que se mueven y aceleran los objetos.

La cosmología intenta resolver cual es el valor global de la curvatura del Universo, si es plano, cerrado (curvatura positiva) o abierto (curvatura negativa) y de momento todos los indicadores apuntan a un universo prácticamente plano cuya expansión se está acelerando. Pero esta es otra historia para otra entrada.

Más información:
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-i-el-quinto-postulado.html

http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/02-03/PG02-03-munoz.pdf

febrero 7, 2009 Posted by | matemática | 6 comentarios

Fuerza centrífuga e inercia

centriComenté en una entrada anterior que la famosa “fuerza de Coriolis” se debe llamar mas bien “efecto de Coriolis” porque no es ninguna fuerza. El efecto se debe al hecho de desplazarse de un punto a otro en un objeto en rotación. La rotación es un concepto no inercial.  En el Universo existe un concepto fundamental llamado inercia que significa que los objetos mantienen trayectorias rectilineas uniformes. La inercia no es ninguna fuerza, aunque de nuevo se confunden las palabras y se utiliza el concepto como “resistencia al movimiento”. No sabemos realmente qué significa la inercia, sólo sabemos lo que hace, y es mantener el movimiento de los objetos de manera uniforme.

Pero el tema de esta entrada es la fuerza centrifuga. ¿Fuerza? Pues tampoco es una fuerza, mejor dicho digamos que es otra fuerza ficticia, como Coriolis. Sin embargo enseguida pensaremos que cuando vamos en el coche y tomamos una curva cerrada notamos la fuerza centrifuga de forma muy evidente. Lo que sucede realmente es lo siguiente: el coche cambia su trayectoria rectilinea y obliga a todo lo que va dentro del coche a desviarse de su trayectoria inercial. Es decir, el coche empuja al conductor contra su tendencia a seguir la trayectoria uniforme. Desde nuestro punto de vista es una fuerza que nos empuja contra el coche, pero un observador externo lo verá mucho mas claro.

Fijémonos en un detalle. Supongamos una mosca volando dentro del coche. Esa mosca va a la misma velocidad que el coche. Suponiendo velocidad constante, el coche es un sistema inercial y la mosca no sabe nada de lo que sucede fuera ni a que velocidad va el coche (a todos los efectos no hay diferencia física). Cuando el coche comienza a girar, la mosca no sentirá nada, solo verá que el habitáculo del coche gira respecto a ella. Si el giro es cerrado, la mosca observará como algún lateral del habitáculo se abalanza sobre ella. Solo en el momento del contacto la mosca queda forzada en contra su trayectoria inercial  y siente una presión (fuerza).

espacioartA esto llamamos fuerza centrífuga pero, como hemos visto, no es una nueva fuerza que surge cuando los objetos giran, sino la “colisión” entre un objeto que obliga a girar a otro que “no quiere” y es obligado a seguir una trayectoria no inercial. En realidad, todas las moléculas de un objeto en rotación están sufriendo este “conflicto” en contra de su inercia quedando sometidas a esta tensión de reacción: es nuestra “fuerza” centrífuga (entre comillas).

Y para finalizar una última pregunta. Si sólo existiera un objeto en el Universo y estuviera girando, ¿notaría esta “fuerza” centrífuga? Pero…¿respecto a qué gira el objeto si no hay nada para comparar? Sabemos que un objeto gira cuando podemos comparar su movimiento con otro sistema de referencia pero si no hay nada con lo que comparar…¿gira realmente? Puede parecer una pregunta tonta, pero es una de las preguntas fundamentales en la física, que fue objeto de disquisición por parte de Newton, Mach y Einstein. Precisamente Mach definió la inercia como una interacción entre cada particula y el resto del universo, o dicho de otra manera, mi inercia es un efecto de interacción con el resto del Universo. Este concepto influyó a Einstein en su idea de reemplazar la materia y la energia por deformaciones del espacio-tiempo que definirían a su vez el comportamiento dinámico de las partículas.

febrero 3, 2009 Posted by | física | Deja un comentario

Without hot air

cover300Interesante libro que analiza de forma muy didáctica los diferentes consumos energéticos y los recursos disponibles, analizando la sostenibilidad a largo plazo de los mismos. Desde los combustibles fósiles a las energías renovables, pasando por la nuclear, todas se analizan desde un punto de vista no económico, sino por su potencial energético y su disponibilidad.

El libro se puede comprar o descargar gratuitamente por Internet.

Autor: David JC MacKay

http://www.withouthotair.com/

(cuando lo acabe de leer añadiré un resumen…)

febrero 1, 2009 Posted by | libros | Deja un comentario