Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Ley potencial

powerlawEstamos rodeados de leyes potenciales. Un proceso físico responde a una ley potencial cuando la probabilidad de que ocurra un evento decae de manera potencial con cierta magnitud o, en otras palabras, siguiendo una fórmula del tipo f(x) = x-k (donde x es una variable medible elevada a una potencia).

En la naturaleza existen muchos fenómenos que siguen estas leyes. Por ejemplo los terremotos. Si dibujamos en un gráfico las veces que aparecen los terremotos en función de la energía liberada, obtendremos una curva de tipo potencial como en la imágen. A la izquierda obtendremos muchos terremotos de poca magnitud (zona alta de la curva) mientras que la zona baja de la curva significa que hay muy pocos terremotos de gran magnitud. En resúmen: “muchos con poco y pocos con mucho”. Esta es la esencia de la ley potencial.

Por lo tanto en una ley potencial los sucesos se producen con una frecuencia variable, donde muchos sucesos son de pequeña escala y pocos de gran escala. Esta relación entre muchos y pocos no es arbitraria, sino que sigue precisamente una ley potencial concreta con un exponente (k) característico de cada fenómeno físico. Existe, pues, una relación matemática definida que indica cuantos eventos se producen de cada tipo – puede calcularse.

campanaOtros fenómenos que siguen leyes potenciales: la relación entre número de ciudades y habitantes (pocas ciudades de muchos habitantes y muchas de pocos), la conectividad de nodos en Internet, la frecuencia de las palabras en el lenguaje, la riqueza de las personas, el tamaño de los seres vivos, los links de internet, el terrorismo, etc. No deja de ser curioso que todos estos sistemas respondan a leyes potenciales con bastante exactitud ya que, a priori, podríamos suponer que la riqueza de las personas o la conexión de nodos a Internet son fenómenos bastante aleatorios en distribución donde esperaríamos obtener una curva de campana.

La curva de campana es muy diferente a una ley potencial y es muy importante saber si un fenómeno físico responde a una u otra. La curva de campana (o gaussiana) aparece cuando el fenómeno físico tiende a un valor central o media. Por ejemplo la altura de las personas, los errores de medición en aparatos de medida, y muchos otros. La curva de campana es una curva exponencial, lo que significa que decae muy rápidamente cuando se aleja del valor central, y por lo tanto es muy difícil encontrar sucesos o muestras muy diferentes. Por ejemplo podríamos decir que la probabilidad de encontrar una persona de 6 metros de altura o de 10 cm es prácticamente nula. La curva y nuestra intuición coinciden.

cisnePero con las leyes potenciales la cosa es diferente. Una ley potencial no tiene valor medio o central. Las probabilidades también decaen pero mucho mas lentamente que la ley exponencial.  Podemos cometer un grave error si creemos que un fenómeno físico tiene una ley exponencial y luego resulta ser potencial (o viceversa) ya que estaríamos subestimando la probabilidad del suceso en órdenes de magnitud. Desgraciadamente la ley potencial de los terremotos nos dice que las probabilidades de que suceda un gran terremoto no son nulas (al menos no tanto como en una ley gaussiana). También nos dice que muy pocos pueden ser Bill Gates, pero no imposible. Podemos calcular las probabilidades de que suceda el evento extremo!

En el libro El Cisne Negro, de Nassim Nicholas Taleb, se hace una crítica feroz hacia la sacralización y sobreexplotación de la curva gaussiana en detrimento de las potenciales, lo que produce una “ceguera” ante los posibles “Cisnes Negros” (sucesos extremos) que nos acechan en la vida. Estoy bastante de acuerdo. ¿Por qué no se enseñan y comparan las leyes potenciales junto a las distribuciones gaussianas?

fractal03Parece que las leyes potenciales aparecen cuando existen relaciones dinámicas a diferentes escalas en el sistema. La ley potencial es una consecuencia macroscópica de esas interrelaciones ocultas entre los componentes. Hay toda una línea apasionante de conceptos que relacionan la geometría fractal, las dinámicas caóticas, los atractores extraños y las leyes potenciales. Aunque habrá motivo para más entradas sobre el asunto, me quedo con la idea de que las leyes potenciales son interesantes y misteriosas mientras que las gaussianas son simples y aburridas.

Anuncios

enero 27, 2009 - Posted by | matemática

1 comentario »

  1. GRACIAS POR ESTE ARÍCULO. RESULTA DE GRAN UTILIDAD

    Comentario por LUIS | junio 26, 2010


Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: