Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Cantor y los infinitos (II)

cantor1Decíamos en la entrada anterior que Cantor había definido el cardinal del conjunto de los números naturales N y lo había llamado Aleph-Cero o Aleph-0. También vimos que Aleph-Cero era el cardinal de muchos subconjuntos de N como por ejemplo los números pares, los impares, los primos, los enteros negativos, etc.  y que por ello Aleph-Cero era el primer cardinal transfinito. Mi recomendación con estos asuntos es no intentar pensar en la “realidad” de Aleph-Cero, sino simplemente en su definición en el marco de la Teoría de Conjuntos. Muchas veces caemos en el problema de intentar asociar el ente matemático con la realidad física o la intuición, lo cual nos lleva a conflictos. Aunque el matemático Kronecker no aceptaba nada más allá de los números naturales, bajo el paraguas extremo de la llamada escuela finitista, o las teorías constructivistas que requieren una prueba de existencia. En la mayoría de los casos la matemática pura avanza sin tener en cuenta su conexión con el mundo físico, y en otros casos nos sorprende con resultados útiles. Tal vez pueda encontrar ejemplos para próximas entradas.

diagonalSigamos con los infinitos. Una pregunta interesante es averiguar “cómo de grandes” son otros conjuntos matemáticos infinitos en comparación con los números naturales. A priori podríamos pensar que el infinito es un concepto único y solo puede tener un “tamaño único”. Por ejemplo, pensemos en las fracciones, es decir, el conjunto Q de todos los números racionales representados por cualquier fracción (a/b) donde a y b son números enteros, como 5/6, 3/4, 1/2… . Cantor demostró que había tantas fracciones como números naturales a través un fácil método. Básicamente consiste en montar una matriz donde se pueden construir todas las fracciones (el numerador es la fila y el denominador la columna o al revés) y recorrer (numerar) cada elemento siguiendo las diagonales como se muestra en la figura. De esta manera, todas las fracciones pueden ser puestas en correspondencia uno-a-uno con los números naturales: es un conjunto numerable. De nuevo su cardinal es Aleph-Cero.

El siguiente salto de Cantor fue todavía más interesante. Se preguntó sobre los números reales R, concretamente sobre todos los números de la recta real entre 0 y 1, incluidos los racionales y los irracionales. En este conjunto tenemos números como: 3 (entero), 1/3 (racional), √2 (irracional), e (transcendental). Todos estos números tienen la forma decimal 0.xxxxxxx… con un número infinito de cifras después de la coma (pueden ser ceros). ¿Se podrían poner en relación uno-a-uno con los números naturales?

Y aquí viene uno de los descubrimientos más transcendentales de Cantor. Mediante su diagonalización demostró que los números reales (R) no podían contarse! Básicamente lo que hizo fue colocar en una matriz infinitamente extensa todos los posibles números reales. Cada fila numerada contendría un número de la forma 0.xxxxxx…  por ejemplo veamos un fragmento de esa matriz:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5

La pregunta que nos hace Cantor es la siguiente: ¿en qué fila podemos encontrar el número que surge de coger todas las cifras de la diagonal seguidas sumando una unidad a cada una de ellas? Es decir, en nuestro caso si esa cifra es 0.5140235… entonces buscaríamos el número 0.6251346… Resulta que este número no podemos encontrarlo en ninguna fila porque justo “choca” en la diagonal, sea cual sea la fila que elijamos. Es decir, hemos definido un número que no puede estar en nuestra matriz numerable, por lo tanto llegamos a la conclusión de que los números reales no son numerables o, en otras palabras, hay más números reales que naturales.

Esto fue un hallazgo importante. ¿Cómo puede un infinito ser más grande que otro infinito? Al infinito de los números naturales, nuestro infinito “de toda la vida” lo enfrentamos con un infinito más profundo: el de los números reales, también llamado “el continuo“.

Siguiendo con este asunto, Cantor buscó una forma de cuantificar este nuevo infinito. Definamos un momento el conjunto “partes de un conjunto” que simplemente reúne todas las colecciones de elementos de un conjunto. Por ejemplo el conjunto { a, b, c } de cardinal 3 tiene las colecciones { o, a, b, c, ab, ac, bc, abc } es decir 23 = 8 elementos (cardinal 8). En cualquier otro conjunto se cumple la misma fórmula: su conjunto “partes” tiene 2N elementos donde (n) es el número de elementos originales. Pues bien, Cantor demostró que el cardinal de los números reales era precisamente el cardinal del conjunto “partes de los números naturales”. En otras palabras, el contínuo tiene 2AlephCero elementos!

escherMás curioso aun fue su análisis de espacios de mayor dimensión. Por ejemplo el plano RxR de dos dimensiones se define con pares de números reales. Es muy fácil realizar una correspondencia uno-a-uno entre cualquier número real (R) y un par de números reales (RxR) simplemente cogiendo las cifras pares del primero para montar un nuevo número, y las cifras impares para el otro: de o.47693485… se obtiene (0.4638…, 0.7945…). Entonces tenemos que aceptar que el plano tiene el mismo número de puntos que la recta! Es más, el método se puede aplicar entre cualesquiera espacios de (n) y (m) dimensiones. Paremos un momento a pensar en esta asombrosa conclusión: “cualquier dimensión es isomorfa a cualquier otra y tiene el mismo número de puntos”.

alephCantor definió toda una jerarquía de números transfinitos: Aleph-o, Aleph-1, Aleph-2… con un gran rigor matemático y lanzó un último desafío: ¿existía algún número transfinito entre Aleph-o y el continuo? La llamada hipótesis del contínuo. Nunca consiguió resolverla, cosa que ahora se sabe que es indecidible y se puede considerar verdadera o falsa a elección.

Rindamos homenaje a Cantor que luchó hasta la locura por entender el infinito.

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enero 21, 2009 - Posted by | matemática

3 comentarios »

  1. señor victor Gonzales no logro entender muy bien el metodo de la diagonalizacion podria hacer un complemento mas detallado de como Cantor demostro el mayor que, en la cardinalidad en los numeros reales
    me lo pordria enviar por email o avisarme cuando lo suba aqui

    muchas gracias

    Comentario por jhon tavera | agosto 19, 2009

  2. Tal vez le sirva esta referencia

    Comentario por Victor Gonzalez | agosto 24, 2009

  3. Hola , Cantor se referia a Aleph 0 al número de los números N positivos y negativo o solo positivos ? Conveniendo que los números N (naturales) son solo positivos o bien se podría encuadrar su hipotesis sobre los negativos tambien lastima que Cantor no esta p/ profundizar ssobre los ¿números infinito negativo ? La diagonal de los infinitos , saludos muy analitica y profunda tu posteada =]

    Comentario por Marine Mare | enero 16, 2016


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