Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Cantor y el hotel de Hilbert (I)

cantor

Mencionaba en otra entrada a uno de mis matemáticos favoritos: Georg Cantor.  Este hombre se enfrentó con un “demonio” de las matemáticas: el infinito. El libro Infinity, comentado en dicha entrada, habla extensamente sobre Cantor y su doble lucha: el infinito y la cúpula matemática de la época representada por Kronecker. Cantor tuvo la mala suerte de enfrentarse con un enemigo acérrimo de todo lo que fuera más allá de los números enteros. Para Kronecker la única matemática válida era la basada en números enteros, prescindiendo de irracionales, imaginarios y por supuesto esa cosa absurda llamada infinito. Esta doble lucha fue minando la salud mental de Cantor hasta su final.

Cantor, uno de los padres fundadores de la Teoría de Conjuntos, analizó los números en el marco de esta nueva teoría, definiendo los números ordinales y cardinales a través de relaciones entre elementos de conjuntos. Por ejemplo, supongamos un conjunto definido arbitrariamente por sus elementos { #, $, & } y otro { @, %, ♣ }. ¿Qué tienen en común estos dos conjuntos? Que podemos establecer una relación uno-a-uno entre sus elementos: { #↔@, $↔%, &↔♣ }. Además podemos utilizar el conjunto de los números naturales para numerarlos, de la forma { 1↔#↔@, 2↔$↔%, 3↔&↔♣ }. Esto significa que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal = 3.

ovejasObservamos pues, que el cardinal de un conjunto representa el número de elementos que se pueden “contar” simplemente estableciendo correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los elementos del conjunto. Desde este punto de vista, un número cardinal no significa nada en sí mismo. Cuando decimos “seis” ¿qué queremos decir? Nos referimos a todos los conjuntos en los que podemos numerar sus elementos de la forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dos pastores podrían saber que tienen el mismo número de ovejas (el mismo cardinal del conjunto de ovejas) simplemente emparejándolas aunque no supieran cuantas tienen. Todo este preámbulo solo sirve para prepararnos para el salto al infinito.

Pensemos ahora en la secuencia de números naturales infinita: 1, 2, 3, 4, 5… y observemos que podemos establecer una correspondencia uno-a-uno con los números pares, de la forma: 1↔2, 2↔4, 3↔6, 4↔8, 5↔10. Recordemos, si se puede establecer una relación uno-a-uno entonces ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Pero este caso es curioso, porque el conjunto de los números pares es un subconjunto de los números naturales! De hecho, esta correspondencia podemos establecerla también con los impares, los primos, e infinidad de secuencias. Esto ya empieza a complicarse, ya que llegamos a la conclusión de que los infinitos números naturales pueden ponerse en relación uno-a-uno (pueden contarse) con subconjuntos de sí mismo.

Cantor hizo el primer salto al infinito de esta manera, definiendo un conjunto infinito como aquél cuyos elementos pueden ponerse en relación uno-a-uno con subconjuntos de sí mismo. Pero si estamos hablando de contar, ¿cuántos elementos hay en la secuencia de números naturales? Igual que existe un cardinal llamado “tres” y otro cardinal llamado “catorce”, Cantor definió el primer cardinal transfinito y lo llamó “Aleph-Cero” : el cardinal de los números naturales. Así que ya sabemos “cuantos números” hay en la secuencia infinita 1, 2, 3, 4, 5… “Aleph-Cero”

hotelPara entender mejor el concepto, vamos a revisar el famoso ejemplo del Hotel de Hilbert. La historia (resumida) trata sobre un hotel con infinitas habitaciones (!) donde cada habitación esta numerada 1, 2, 3, 4, 5… . Al hotel llega un autobus con infinitos jugadores de baloncesto. Hilbert no tiene ningún problema. Al primer jugador le asigna la habitación 1, al segundo la habitación 2, y así a todos los infinitos jugadores. Ninguno se queda sin habitación.

Al rato aparece una persona mas en su coche particular. Pero, maldición, el hotel esta lleno. Hilbert sonríe para sus adentros y envía una nota a todas las habitaciones pidiendo cortésmente que cada huésped suba a la habitacion inmediatemente superior, simplemente sumando uno al número de su habitación. Cuando realiza la operación la habitación número 1 queda desocupada y la asigna al nuevo huesped. Al rato viene un autobús con 50 personas, y Hilbert envia de nuevo una nota a todas las habitaciones para que todos los huespedes suban a la habitación que suma 50 con su habitación actual. De nuevo consigue 50 habitaciones disponibles (habitación 1 a 50).

Súbitamente aparece otro autobús de infinitos jugadores de cricket pidiendo habitaciones en el hotel. Houston, tenemos un problema! piensan los preocupados asistentes del hotel – infinitos jugadores pidiendo infinitas habitaciones en un hotel infinitamente lleno! Pero Hilbert vuelve a sonreir divertido y además nos guiña un ojo. Envía una nota a todas las habitaciones: “Queridos clientes, por motivos ajenos a nuestra voluntad, cada huésped tendrá que moverse a la habitación de número doble a su número actual”. Todos los huespedes actuales ocupan, por lo tanto, las infinitas habitaciones pares, dejando un infinito número de habitaciones impares para los impacientes jugadores de cricket.

Volviendo a la teoría, el Hotel de Hilbert tiene Aleph-Cero habitaciones y los números transfinitos tienen la curiosa propiedad de que podemos sumarles, restarles o multiplicarles por cualquier número, sin que se inmuten.

AlephCero + n = AlephCero
AlephCero + AlephCero = AlephCero

Los desarrollos de Cantor no acaban aquí. No se vayan todavía aún hay más…infinitos!

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enero 18, 2009 - Posted by | matemática

3 comentarios »

  1. […] y los infinitos (II) Decíamos en la entrada anterior que Cantor había definido el cardinal del conjunto de los números naturales N y lo […]

    Pingback por Cantor y los infinitos (II) « Hiperesfera | enero 21, 2009

  2. pues quiero saber mas de ese nombre investiguen mas porfis

    Comentario por qqqqq | septiembre 5, 2009

  3. esto quiere decir que hay infinitos chicos he infinitos grande

    Comentario por carlos | septiembre 10, 2010


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