Hiperesfera

por Victor Gonzalez

Al infinito…y más allá!

clegginfinityBuzz Lightyear, aquél simpático personaje de la saga Toy Story, nos deleitaba con su famosa frase “Al infinito…y más allá”. ¿Existirá algo después del infinito? Brian Clegg nos demuestra que sí en su libro “Infinity – The quest to Think the Unthinkable”.

El concepto de infinito nos ha acompañado a lo largo de la historia del conocimiento y ha sido objeto de grandes debates en el terreno de las matemáticas, filósofía, cosmología o religión. El infinito ha vuelto loco a algún matemático como veremos. Brian Clegg hace una revisión histórica del infinito y su primo-hermano el infinitesimal, partiendo de los filósofos griegos hasta los descubrimientos matemáticos del siglo XX. El libro no profundiza demasiado en cada tema pero a cambio nos hace un recorrido muy completo.

Los griegos ya lidiaron con el infinito. Zenón fue famoso por plantear sus paradojas de movimiento. Son las famosas paradojas de Aquiles y la Tortuga y La Flecha. La primera siempre me ha parecido mas intuitiva. Aquiles  y la tortuga se plantean una carrera. Aquiles da ventaja de 1 metro a la tortuga. Cuando la carrera comienza, Aquiles debe recorrer el primer metro en algún tiempo, pongamos que tarda un segundo. En ese segundo la tortuga  habrá recorrido cierta distancia (muy pequeña, pero algo). Volvamos  a repetir la jugada. Aquiles tendrá que recorrer de nuevo el espacio que ha adelantado la tortuga, pero en ese posiblemente muy corto espacio de tiempo la tortuga habrá adelantado un poco más. Siguiendo hasta el infinito este bucle vemos que Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

o_aquiles-y-la-tortugaTodos sabemos que esto no es correcto, Aquiles pasará a la tortuga rápidamente, pero entonces ¿dónde esta el fallo del razonamiento lógico anterior? Mucho se ha escrito sobre estas paradojas así que no me extenderé. Solo mencionaré dos posibles soluciones. En una se asocia el movimiento de Aquiles a una serie de sumas que, aunque se sumen infinitamente, convergen a un número finito. Por ejemplo la seríe infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16… converge a 2. En otra se aduce que la realidad física no permitiría una reducción infinita puesto que el espacio y/o el tiempo tendrían un límite discreto. Algunas hipótesis de física teórica plantean un tiempo y un espacio discretos. Sea lo que sea, las paradojas de Zenón marcan la tendencia de los problemas que surgen cuando se usa el infinito.

escher_infinitoEl concepto de infinito surge de forma natural en la idea de que no existe un último número. Cualquier número que imaginemos nunca será el último porque podemos añadir uno más. La discusión metafísica surgió entre aquellos que pensaban que el infinito es algo concreto, una cosa real, y los  que pensaban que era un mero concepto: “sin final”, al que no se le puede otorgar existencia real.  Aunque a estas alturas la discusión parece algo absurda, motivó profundos dilemas y debates intelectuales. Algunos teólogos asociaron infinito a Dios, mientras que otros lo negaron alegando de nuevo que el infinito era un concepto potencial, no real.

Avanzando en el tiempo nos encontramos con la invención del cálculo diferencial.  Newton y Leibniz de forma independiente descubrieron los “infinitesimales“. Cantidades infinitamente pequeñas que, de forma misteriosa, cambiaron la historia del conocimiento humano. A partir de ese momento los diferenciales permitieron resolver incontables problemas matemáticos, físicos, de ingeniería, etc. Sin embargo el concepto “diferencial” no se salvó de nuevo de la discusión filosófica.  Hasta el siglo XX nada menos el concepto diferencial se mantuvo en debate en cuanto a su verdadera naturaleza: ¿eran cantidades muy pequeñas o cero? Y en el primer caso, ¿cuánto de pequeñas?

cantor2Pero mi favorito, sin lugar a dudas, es Cantor. Este matemático de finales del XIX revolucionó la materia con sus avances en el concepto del infinito, y de paso se volvió loco en el intento. Para entender a Cantor primero hay que entender lo que es un número en la Teoria de Conjuntos. Si varios conjuntos pueden relacionar sus elementos uno-a-uno entonces podemos decir que tienen el mismo cardinal. De esta manera lo que llamamos “número cinco” es el cardinal que corresponde a todos los conjuntos posibles con cinco elementos. Cantor observó que la secuencia infinita de números  naturales 1, 2, 3, 4, 5… podría entenderse en el marco de la Teoría de Conjuntos otorgándole una cardinalidad que llamó Aleph-0. Cantor definió un conjunto infinito como aquel que puede establecer una  relación uno-a-uno con subconjuntos propios. Por ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, 4, 5…  se puede relacionar uno-a-uno con la secuencia de números pares (1→2, 2→4, 3→6…), con los impares, con las fracciones (racionales), con los primos, etc. Todos estos conjuntos tenían el mísmo “numero” de infinitos elementos, en palabras mas correctas, la misma cardinalidad.

Pero el verdadero salto conceptual de Cantor fue ir “más allá del infinito”, preguntándose si los numeros reales en el intervalo (0,1),  es decir, todos los números decimales racionales e irracionales entre cero y uno, tendrían la misma cardinalidad Aleph-0 que los números naturales. De una manera muy sencilla a través del proceso de diagonalización demostró que no se podían poner en relación uno-a-uno los números reales y los naturales. Había MÁS números infinitos reales que números infinitos naturales! ¿Cuántos más infinitos?

Si pensamos en la cantidad de partes que podemos hacer con un conjunto dado podremos visualizar un poco el asunto. Por ejemplo con 3 manzanas (ABC) podemos obtener todos estos subconjuntos: 0, A, B, C, AB, AC,  BC, ABC. Es decír matemáticamente 2 elevado a 3. Para N elementos el números de subconjuntos serán 2 elevado a N. Volviendo al infinito, se demuestra que el “número” de reales es 2 elevado a Aleph-0. En otras palabras, la “cantidad” de infinitos números reales es equivalente a la “cantidad” de infinitos subconjuntos que se pueden construir con los infinitos números naturales 1, 2, 3, 4…Marea un poco ¿verdad?

Cantor fue más allá del infinito “natural” y creó toda una jerarquía de infinitos, Aleph-0, Aleph-1, Aleph-2…así hasta el infinito del infinito, con un rigor matemático que le generó una gran animadversión especialmente por parte de un rígido Kronecker. Esta lucha académica unida a la complejidad intelectual de su propia investigación le produjo crisis mentales cada vez más frecuentes así hasta su muerte. Creo que Cantor merecerá una nueva entrada en este blog.

En resumen, un libro muy recomendable para aquél que busque entender que quería decír Buzz Lightyear exactamente. buzz

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enero 11, 2009 - Posted by | filosofía, libros, matemática

1 comentario »

  1. […] en otra entrada a uno de mis matemáticos favoritos: Georg Cantor.  Este hombre se enfrentó con un […]

    Pingback por Cantor y el hotel de Hilbert (I) « Hiperesfera | enero 18, 2009


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