Hiperesfera

por Victor Gonzalez

El mito de Coriolis

lavabo-fosilTodavía sigue circulando el mito de Coriolis respecto al giro del agua en los desagües de un hemisferio y del otro. Supuestamente en el hemisferio norte giran en una dirección y en el hemisferio sur en el otro. Lo primero que deberiamos hacer es comprobar en nuestro lavabo en qué dirección gira, o en varios lavabos de la casa, preguntar a nuestros conocidos, y ver si llegamos a alguna conclusión. Posiblemente veamos que unos giran en una dirección y otros en otra. Pero…¿qué es Coriolis?

Comencemos por una dura aseveración: la fuerza de Coriolis no existe. La llamada “fuerza” de Coriolis pertenece a la categoría de las fuerzas ficticias, por la cual asignamos una fuerza a un objeto que vemos desviandose cuando los que realmente nos desviamos somos…nosotros.

asper1Pensemos en este experimento imaginario. Estamos en el centro de una plataforma giratoria junto con un grifo que expulsa agua en horizontal por encima de nuestra cabeza, como un aspersor de riego. La plataforma gira pero nosotros no nos damos cuenta ni lo sentimos (esta muy bien engrasada). Veremos que el agua cae realizando una forma helicoidal por algun motivo “misterioso” y pensaremos que las gotas de agua deben estar sometidas a una fuerza lateral que las hace girar de esa manera. La realidad es que los que giramos somos nosotros.

Otro ejemplo: sobre la misma plataforma giratoria nos colocaremos dos amigos, uno en cada extremo. Le lanzaremos una pelota en linea recta a las manos del amigo, y sin embargo la pelota realizará una misteriosa curva en el espacio desviandose a un lado. Pensaremos que existe una fuerza que empuja a la pelota lateralmente, y sin embargo los que giramos somos nosotros.

coriolis_richardMoraleja: la Tierra gira y nosotros giramos arrastrados con ella. Cuando lanzamos un objeto al aire (un proyectil, el mismo viento, las corrientes de agua, etc.) podemos suponer que estos objetos quedan desvinculados del arrastre de la Tierra (no del todo por motivos de rozamiento). Podemos imaginar como la Tierra gira por debajo de ellos mientras nosotros, “montados” en la Tierra, observamos como se desvian y por lo tanto pensamos que algo les empuja lateralmente. Esa fuerza no existe, es el efecto “Coriolis”.

El efecto Coriolis se observa en los proyectiles balisticos que se lanzan de norte a sur o viceversa. El desvió observado, que de hecho es el giro de la Tierra simplemente, hay que corregirlo para llegar al punto de destino. Igualmente con los aviones.

¿Qué sucede con los objetos que rozan con la Tierra por ejemplo los mares o la atmósfera?  Si nos colocamos en el centro de nuestra plataforma giratoria y andamos en linea recta hacia su extremo, notaremos una fuerza que nos empuja lateralmente. Esta fuerza es realmente un rozamiento sobre la plataforma giratoria. No existe ninguna fuerza misteriosa sino el rozamiento con un objeto que nos presenta diferentes velocidades a lo largo de su radio (porque nosotros no somos una pieza rígida arrastrada por el objeto). De hecho esto nos esta indicando una conclusión lógica: todo objeto en rotación esta necesariamente sometido a tensión interna, pero me estoy alejando del asunto.

coriolis-swirlEl efecto combinado de fuerzas de rozamiento sobre la “plataforma” Tierra y de su giro propio producen las corrientes circulares atmosféricas y oceánicas. La mecanica de fluidos hace el resto. Este efecto tambien produce asimetrías en los cauces de los rios. Todo es producido por una simple causa: el giro de la Tierra. No existe ninguna fuerza de Coriolis pero nos es cómodo asignar una fuerza ficticia para entendernos. Tenemos cerca otra fuerza ficticia muy conocida: la fuerza centrífuga. De ella hablaré otro día.

Por último descubramos el enigma del giro del agua en el lavabo de casa. Se puede calcular matemáticamente la aceleración (ficticia) observada en un objeto que se desvía por Coriolis (por la Tierra que gira). En el caso mas favorable su aceleración es A = 2ωV donde ω=rotación de la Tierra y V=velocidad del cuerpo. Un cuerpo que se desplaza a velocidad 1 m/s recibe una aceleración 100.000 veces menor a la de su peso. Si pensamos en un lavabo en reposo (velocidades casi nulas) y con unos pocos litros de agua, podemos llegar facilmente a la conclusión de que la aceleración de Coriolis es despreciable. Cualquier otra fuerza que afecte al agua del lavabo será mucho más grande que Coriolis, como es el momento en el que se quita el tapón o el desplazamiento con la mano. Es más, el agua nunca llega al reposo absoluto, todo el agua del lavabo conservará un momento de giro que depende principalmente de la forma del lavabo y de la forma en la que el grifo echaba agua. Coriolis no puede compensar esas fuerzas. En el gran “lavabo” del océano con grandes masas y tiempo de aplicación sobre grandes distancias el giro se produce, pero en nuestro lavabo una mosca gana a Coriolis.

Más información

enero 30, 2009 Posted by | física | 7 comentarios

Ley potencial

powerlawEstamos rodeados de leyes potenciales. Un proceso físico responde a una ley potencial cuando la probabilidad de que ocurra un evento decae de manera potencial con cierta magnitud o, en otras palabras, siguiendo una fórmula del tipo f(x) = x-k (donde x es una variable medible elevada a una potencia).

En la naturaleza existen muchos fenómenos que siguen estas leyes. Por ejemplo los terremotos. Si dibujamos en un gráfico las veces que aparecen los terremotos en función de la energía liberada, obtendremos una curva de tipo potencial como en la imágen. A la izquierda obtendremos muchos terremotos de poca magnitud (zona alta de la curva) mientras que la zona baja de la curva significa que hay muy pocos terremotos de gran magnitud. En resúmen: “muchos con poco y pocos con mucho”. Esta es la esencia de la ley potencial.

Por lo tanto en una ley potencial los sucesos se producen con una frecuencia variable, donde muchos sucesos son de pequeña escala y pocos de gran escala. Esta relación entre muchos y pocos no es arbitraria, sino que sigue precisamente una ley potencial concreta con un exponente (k) característico de cada fenómeno físico. Existe, pues, una relación matemática definida que indica cuantos eventos se producen de cada tipo – puede calcularse.

campanaOtros fenómenos que siguen leyes potenciales: la relación entre número de ciudades y habitantes (pocas ciudades de muchos habitantes y muchas de pocos), la conectividad de nodos en Internet, la frecuencia de las palabras en el lenguaje, la riqueza de las personas, el tamaño de los seres vivos, los links de internet, el terrorismo, etc. No deja de ser curioso que todos estos sistemas respondan a leyes potenciales con bastante exactitud ya que, a priori, podríamos suponer que la riqueza de las personas o la conexión de nodos a Internet son fenómenos bastante aleatorios en distribución donde esperaríamos obtener una curva de campana.

La curva de campana es muy diferente a una ley potencial y es muy importante saber si un fenómeno físico responde a una u otra. La curva de campana (o gaussiana) aparece cuando el fenómeno físico tiende a un valor central o media. Por ejemplo la altura de las personas, los errores de medición en aparatos de medida, y muchos otros. La curva de campana es una curva exponencial, lo que significa que decae muy rápidamente cuando se aleja del valor central, y por lo tanto es muy difícil encontrar sucesos o muestras muy diferentes. Por ejemplo podríamos decir que la probabilidad de encontrar una persona de 6 metros de altura o de 10 cm es prácticamente nula. La curva y nuestra intuición coinciden.

cisnePero con las leyes potenciales la cosa es diferente. Una ley potencial no tiene valor medio o central. Las probabilidades también decaen pero mucho mas lentamente que la ley exponencial.  Podemos cometer un grave error si creemos que un fenómeno físico tiene una ley exponencial y luego resulta ser potencial (o viceversa) ya que estaríamos subestimando la probabilidad del suceso en órdenes de magnitud. Desgraciadamente la ley potencial de los terremotos nos dice que las probabilidades de que suceda un gran terremoto no son nulas (al menos no tanto como en una ley gaussiana). También nos dice que muy pocos pueden ser Bill Gates, pero no imposible. Podemos calcular las probabilidades de que suceda el evento extremo!

En el libro El Cisne Negro, de Nassim Nicholas Taleb, se hace una crítica feroz hacia la sacralización y sobreexplotación de la curva gaussiana en detrimento de las potenciales, lo que produce una “ceguera” ante los posibles “Cisnes Negros” (sucesos extremos) que nos acechan en la vida. Estoy bastante de acuerdo. ¿Por qué no se enseñan y comparan las leyes potenciales junto a las distribuciones gaussianas?

fractal03Parece que las leyes potenciales aparecen cuando existen relaciones dinámicas a diferentes escalas en el sistema. La ley potencial es una consecuencia macroscópica de esas interrelaciones ocultas entre los componentes. Hay toda una línea apasionante de conceptos que relacionan la geometría fractal, las dinámicas caóticas, los atractores extraños y las leyes potenciales. Aunque habrá motivo para más entradas sobre el asunto, me quedo con la idea de que las leyes potenciales son interesantes y misteriosas mientras que las gaussianas son simples y aburridas.

enero 27, 2009 Posted by | matemática | 1 comentario

Los filósofos muertos

filosofosLos filósofos nacen, viven y también mueren. La mayoría de los filósofos trataron el concepto de la muerte como parte fundamental de su filosofía. Este libro recorre un buen número de filósofos de forma histórica y cuenta como vivieron y como murieron. La idea del libro es confrontar su visión intelectual sobre la muerte con la experiencia propia en los momentos finales de la vida. En algunos casos el final de la vida sobrevino de forma imprevista, a veces brutal, a veces casi cómica, en otros los filósofos se prepararon adecuadamente para una muerte “filosófica”, y en varios casos simplemente “decidieron” que ya era hora de marcharse.

El libro no trata de filosofía sino del eterno dilema de la existencia y fin de la misma desde el punto de vista de los filósofos afrontando su propio destino. El autor nos quiere transmitir algún mensaje, pero no directamente sino a través de estas historias casi telegráficas de vida y muerte de los filósofos que él ha seleccionado.

Cada uno podrá elegir, en la lectura del libro, aquellas historias que más le puedan motivar o servir en su propia circunstancia. A mi me han gustado dos especialmente.

El alumno pregunta al Maestro: “Maestro, ¿qué es la muerte?” Y el Maestro responde: “No hay diferencia entre la vida y la muerte”. De nuevo el alumno insiste de forma irónica: “Entonces Maestro, ¿por qué no te mueres?”. Y el Maestro contesta sin dudar: “Porque no hay diferencia”.

En varios filósofos clásicos se observa la misma conclusión. No hay diferencia entre la vida y la muerte. Ambos conceptos son dos caras de la misma moneda, de algo más elevado (la naturaleza, el universo, dios…) y la muerte solo es un tránsito o cambio de fase. Muchas teologías como la cristiana o islámica recogen este sentido, que también puede encajar con una visión dualista (cuerpo+alma) o monista (volveremos a ser lo que eramos antes de nacer, única sustancia…).

Pero lo que más me ha agradado es coincidir con la visión de Goethe sobre el “asunto”. Goethe piensa que un ser que existe no puede concebir su propia inexistencia, es un concepto sin sentido, al igual que la “nada” o el “vacío perfecto” no puede definirse como concepto existente (decir que es “ausencia de cosas” no es una prueba de existencia en mi opinión). Nuestra propia inexistencia es, por tanto, inverificable, ya que la verificación requiere existencia. El fin de la vida de los demás no confirma ni desmiente nada al respecto ya que nuestra existencia es un hecho irreducible para nosotros mismos. Estirando un poco el razonamiento llegamos a la conclusión de que somos inmortales.

Pensemos un minuto más en este razonamiento. Si no podemos demostrar ni verificar nuestra inexistencia, entonces lo único que podemos demostrar es nuestra existencia. Reconozco que parece un razonamiento un poco circular pero la idea también se encuentra cercana a las tesis del libro “Soy un bucle extraño” comentado en otra entrada. Cuando un ordenador esta apagado…¿sábe que esta apagado?

c3poRecuerdo a nuestro querido robot C-3PO en la Guerra de las Galaxias, cuando le apagaban y posteriormente le encendian. Daba la impresión de que volvía a retomar su “hilo de consciencia” en el mismo punto en que lo había dejado – aunque en un entorno diferente logicamente. C-3PO no podría entender que significa estar desconectado…

Ah, pero recordemos al ordenador HAL9000, de “2001, Odisea del Espacio” cuando le están desconectando hace una afirmación muy humana: “Tengo miedo”.

enero 25, 2009 Posted by | filosofía, libros | Deja un comentario

Cantor y los infinitos (II)

cantor1Decíamos en la entrada anterior que Cantor había definido el cardinal del conjunto de los números naturales N y lo había llamado Aleph-Cero o Aleph-0. También vimos que Aleph-Cero era el cardinal de muchos subconjuntos de N como por ejemplo los números pares, los impares, los primos, los enteros negativos, etc.  y que por ello Aleph-Cero era el primer cardinal transfinito. Mi recomendación con estos asuntos es no intentar pensar en la “realidad” de Aleph-Cero, sino simplemente en su definición en el marco de la Teoría de Conjuntos. Muchas veces caemos en el problema de intentar asociar el ente matemático con la realidad física o la intuición, lo cual nos lleva a conflictos. Aunque el matemático Kronecker no aceptaba nada más allá de los números naturales, bajo el paraguas extremo de la llamada escuela finitista, o las teorías constructivistas que requieren una prueba de existencia. En la mayoría de los casos la matemática pura avanza sin tener en cuenta su conexión con el mundo físico, y en otros casos nos sorprende con resultados útiles. Tal vez pueda encontrar ejemplos para próximas entradas.

diagonalSigamos con los infinitos. Una pregunta interesante es averiguar “cómo de grandes” son otros conjuntos matemáticos infinitos en comparación con los números naturales. A priori podríamos pensar que el infinito es un concepto único y solo puede tener un “tamaño único”. Por ejemplo, pensemos en las fracciones, es decir, el conjunto Q de todos los números racionales representados por cualquier fracción (a/b) donde a y b son números enteros, como 5/6, 3/4, 1/2… . Cantor demostró que había tantas fracciones como números naturales a través un fácil método. Básicamente consiste en montar una matriz donde se pueden construir todas las fracciones (el numerador es la fila y el denominador la columna o al revés) y recorrer (numerar) cada elemento siguiendo las diagonales como se muestra en la figura. De esta manera, todas las fracciones pueden ser puestas en correspondencia uno-a-uno con los números naturales: es un conjunto numerable. De nuevo su cardinal es Aleph-Cero.

El siguiente salto de Cantor fue todavía más interesante. Se preguntó sobre los números reales R, concretamente sobre todos los números de la recta real entre 0 y 1, incluidos los racionales y los irracionales. En este conjunto tenemos números como: 3 (entero), 1/3 (racional), √2 (irracional), e (transcendental). Todos estos números tienen la forma decimal 0.xxxxxxx… con un número infinito de cifras después de la coma (pueden ser ceros). ¿Se podrían poner en relación uno-a-uno con los números naturales?

Y aquí viene uno de los descubrimientos más transcendentales de Cantor. Mediante su diagonalización demostró que los números reales (R) no podían contarse! Básicamente lo que hizo fue colocar en una matriz infinitamente extensa todos los posibles números reales. Cada fila numerada contendría un número de la forma 0.xxxxxx…  por ejemplo veamos un fragmento de esa matriz:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5

La pregunta que nos hace Cantor es la siguiente: ¿en qué fila podemos encontrar el número que surge de coger todas las cifras de la diagonal seguidas sumando una unidad a cada una de ellas? Es decir, en nuestro caso si esa cifra es 0.5140235… entonces buscaríamos el número 0.6251346… Resulta que este número no podemos encontrarlo en ninguna fila porque justo “choca” en la diagonal, sea cual sea la fila que elijamos. Es decir, hemos definido un número que no puede estar en nuestra matriz numerable, por lo tanto llegamos a la conclusión de que los números reales no son numerables o, en otras palabras, hay más números reales que naturales.

Esto fue un hallazgo importante. ¿Cómo puede un infinito ser más grande que otro infinito? Al infinito de los números naturales, nuestro infinito “de toda la vida” lo enfrentamos con un infinito más profundo: el de los números reales, también llamado “el continuo“.

Siguiendo con este asunto, Cantor buscó una forma de cuantificar este nuevo infinito. Definamos un momento el conjunto “partes de un conjunto” que simplemente reúne todas las colecciones de elementos de un conjunto. Por ejemplo el conjunto { a, b, c } de cardinal 3 tiene las colecciones { o, a, b, c, ab, ac, bc, abc } es decir 23 = 8 elementos (cardinal 8). En cualquier otro conjunto se cumple la misma fórmula: su conjunto “partes” tiene 2N elementos donde (n) es el número de elementos originales. Pues bien, Cantor demostró que el cardinal de los números reales era precisamente el cardinal del conjunto “partes de los números naturales”. En otras palabras, el contínuo tiene 2AlephCero elementos!

escherMás curioso aun fue su análisis de espacios de mayor dimensión. Por ejemplo el plano RxR de dos dimensiones se define con pares de números reales. Es muy fácil realizar una correspondencia uno-a-uno entre cualquier número real (R) y un par de números reales (RxR) simplemente cogiendo las cifras pares del primero para montar un nuevo número, y las cifras impares para el otro: de o.47693485… se obtiene (0.4638…, 0.7945…). Entonces tenemos que aceptar que el plano tiene el mismo número de puntos que la recta! Es más, el método se puede aplicar entre cualesquiera espacios de (n) y (m) dimensiones. Paremos un momento a pensar en esta asombrosa conclusión: “cualquier dimensión es isomorfa a cualquier otra y tiene el mismo número de puntos”.

alephCantor definió toda una jerarquía de números transfinitos: Aleph-o, Aleph-1, Aleph-2… con un gran rigor matemático y lanzó un último desafío: ¿existía algún número transfinito entre Aleph-o y el continuo? La llamada hipótesis del contínuo. Nunca consiguió resolverla, cosa que ahora se sabe que es indecidible y se puede considerar verdadera o falsa a elección.

Rindamos homenaje a Cantor que luchó hasta la locura por entender el infinito.

enero 21, 2009 Posted by | matemática | 3 comentarios

Cantor y el hotel de Hilbert (I)

cantor

Mencionaba en otra entrada a uno de mis matemáticos favoritos: Georg Cantor.  Este hombre se enfrentó con un “demonio” de las matemáticas: el infinito. El libro Infinity, comentado en dicha entrada, habla extensamente sobre Cantor y su doble lucha: el infinito y la cúpula matemática de la época representada por Kronecker. Cantor tuvo la mala suerte de enfrentarse con un enemigo acérrimo de todo lo que fuera más allá de los números enteros. Para Kronecker la única matemática válida era la basada en números enteros, prescindiendo de irracionales, imaginarios y por supuesto esa cosa absurda llamada infinito. Esta doble lucha fue minando la salud mental de Cantor hasta su final.

Cantor, uno de los padres fundadores de la Teoría de Conjuntos, analizó los números en el marco de esta nueva teoría, definiendo los números ordinales y cardinales a través de relaciones entre elementos de conjuntos. Por ejemplo, supongamos un conjunto definido arbitrariamente por sus elementos { #, $, & } y otro { @, %, ♣ }. ¿Qué tienen en común estos dos conjuntos? Que podemos establecer una relación uno-a-uno entre sus elementos: { #↔@, $↔%, &↔♣ }. Además podemos utilizar el conjunto de los números naturales para numerarlos, de la forma { 1↔#↔@, 2↔$↔%, 3↔&↔♣ }. Esto significa que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal = 3.

ovejasObservamos pues, que el cardinal de un conjunto representa el número de elementos que se pueden “contar” simplemente estableciendo correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los elementos del conjunto. Desde este punto de vista, un número cardinal no significa nada en sí mismo. Cuando decimos “seis” ¿qué queremos decir? Nos referimos a todos los conjuntos en los que podemos numerar sus elementos de la forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dos pastores podrían saber que tienen el mismo número de ovejas (el mismo cardinal del conjunto de ovejas) simplemente emparejándolas aunque no supieran cuantas tienen. Todo este preámbulo solo sirve para prepararnos para el salto al infinito.

Pensemos ahora en la secuencia de números naturales infinita: 1, 2, 3, 4, 5… y observemos que podemos establecer una correspondencia uno-a-uno con los números pares, de la forma: 1↔2, 2↔4, 3↔6, 4↔8, 5↔10. Recordemos, si se puede establecer una relación uno-a-uno entonces ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Pero este caso es curioso, porque el conjunto de los números pares es un subconjunto de los números naturales! De hecho, esta correspondencia podemos establecerla también con los impares, los primos, e infinidad de secuencias. Esto ya empieza a complicarse, ya que llegamos a la conclusión de que los infinitos números naturales pueden ponerse en relación uno-a-uno (pueden contarse) con subconjuntos de sí mismo.

Cantor hizo el primer salto al infinito de esta manera, definiendo un conjunto infinito como aquél cuyos elementos pueden ponerse en relación uno-a-uno con subconjuntos de sí mismo. Pero si estamos hablando de contar, ¿cuántos elementos hay en la secuencia de números naturales? Igual que existe un cardinal llamado “tres” y otro cardinal llamado “catorce”, Cantor definió el primer cardinal transfinito y lo llamó “Aleph-Cero” : el cardinal de los números naturales. Así que ya sabemos “cuantos números” hay en la secuencia infinita 1, 2, 3, 4, 5… “Aleph-Cero”

hotelPara entender mejor el concepto, vamos a revisar el famoso ejemplo del Hotel de Hilbert. La historia (resumida) trata sobre un hotel con infinitas habitaciones (!) donde cada habitación esta numerada 1, 2, 3, 4, 5… . Al hotel llega un autobus con infinitos jugadores de baloncesto. Hilbert no tiene ningún problema. Al primer jugador le asigna la habitación 1, al segundo la habitación 2, y así a todos los infinitos jugadores. Ninguno se queda sin habitación.

Al rato aparece una persona mas en su coche particular. Pero, maldición, el hotel esta lleno. Hilbert sonríe para sus adentros y envía una nota a todas las habitaciones pidiendo cortésmente que cada huésped suba a la habitacion inmediatemente superior, simplemente sumando uno al número de su habitación. Cuando realiza la operación la habitación número 1 queda desocupada y la asigna al nuevo huesped. Al rato viene un autobús con 50 personas, y Hilbert envia de nuevo una nota a todas las habitaciones para que todos los huespedes suban a la habitación que suma 50 con su habitación actual. De nuevo consigue 50 habitaciones disponibles (habitación 1 a 50).

Súbitamente aparece otro autobús de infinitos jugadores de cricket pidiendo habitaciones en el hotel. Houston, tenemos un problema! piensan los preocupados asistentes del hotel – infinitos jugadores pidiendo infinitas habitaciones en un hotel infinitamente lleno! Pero Hilbert vuelve a sonreir divertido y además nos guiña un ojo. Envía una nota a todas las habitaciones: “Queridos clientes, por motivos ajenos a nuestra voluntad, cada huésped tendrá que moverse a la habitación de número doble a su número actual”. Todos los huespedes actuales ocupan, por lo tanto, las infinitas habitaciones pares, dejando un infinito número de habitaciones impares para los impacientes jugadores de cricket.

Volviendo a la teoría, el Hotel de Hilbert tiene Aleph-Cero habitaciones y los números transfinitos tienen la curiosa propiedad de que podemos sumarles, restarles o multiplicarles por cualquier número, sin que se inmuten.

AlephCero + n = AlephCero
AlephCero + AlephCero = AlephCero

Los desarrollos de Cantor no acaban aquí. No se vayan todavía aún hay más…infinitos!

enero 18, 2009 Posted by | matemática | 3 comentarios

Segundo de Chomón, un ejemplo de I+D+I

segundo-de-chomonSegundo de Chomón fue un cienasta español nacido en 1871 en Teruel. Pionero en las técnicas de cine mudo de la época, podemos considerarle nuestro Méliès español, con el que compitió. Experimentó y desarrolló tecnologías propias como el paso de manivela fotograma a fotograma para dotar a los objetos de “vida propia”, el movimiento (travelling) de la cámara, la doble exposición y sobreimpresiones para crear efectos “fantasmagóricos” o una técnica de color que posteriormente fue patentada por la casa Pathé con el nombre de Pathecolor.

Una de las creaciones que más se recuerdan de él es Hotel eléctrico de 1908 donde se pueden observar algunas técnicas comentadas, aunque parece que el “paso de manivela” habría sido ya usado previamente según se lee en el enlace. No menoscaba su ejemplo de pasión por el arte, la tecnología y la innovación. Nuestro primer mago del cine.

Les Kiriki, acrobates japonais


Incoherencia del color



enero 16, 2009 Posted by | arte, historia | Deja un comentario

La máquina de la verdad

ramon_llullRamón Llull o Raimundo Lulio, filósofo, poeta, místico y teólogo del siglo XIII describió una máquina lógica que capaz de demostrar las proposiciones verdaderas o falsas del conocimiento, incluyendo las verdades teológicas y filosóficas. La máquina, llamada Ars Magna, utilizando volantes y palancas, y a partir de unos conceptos fundamentales que todo ser humano aceptaría como ciertos, realizaría combinaciones lógicas y demostraría nuevos enunciados. Las proposiciones y tesis se movían a lo largo de unas guías y se detenían frente a la postura positiva (certeza) o negativa (error) según correspondiese. Uno de los propósitos de la máquina sería revelar la verdad cristina y convertir a los fanáticos musulmanes.

Llull influyó cuatro siglos despues a Leibniz en la idea de desarrollar una lógica simbólica del conocimiento. A este sistema lo llamó Ars Combinatoria, y utilizaba aritmética combinatoria sobre una clasificación formal similar a los axiomas del conocimiento. Su objetivo era alcanzar una formalización lógica del saber a través de un idioma universal, a través del cual la humanidad podría calcular la veracidad de cualquier aserto. Su Characteristica Universalis o alfabeto del conocimiento humano fue tambien discutido por Descartes. Según Leibniz, construir Characterística sería una tarea ingente, un equipo de hombres selectos podría realizar el trabajo en cinco años, pero tal vez la humanidad no estaría preparada para tal máquina.

principia1A finales del siglo XIX y principios del XX, matemáticos como Frege, Hilbert, Whitehead, Russell, trabajaron sin tregua en la formalización completa de la matemática a partir de un sistema de axiomas dado y sus reglas. Ya lejos del ámbito metafísico, teológico o filosófico, pretendían demostrar que cualquier proposición matemática creada a partir de un sistema de axiomas podría demostrarse (calcularse) verdadera o falsa mediante pasos lógicos y secuenciales (o, por qué no, mecánicos). Las páginas de la obra Principia Mathematica de Whitehead y Russell parecen escritas en otro idioma. Recuerda mucho a las máquinas de Llull o lenguaje universal de Leibniz. Todo iba bien hasta que aparecido Gödel en escena…

.

Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud en el año 1930 dándo un golpe en la mesa a todo este castillo de naipes construido desde la remota idea de Llull. Ya he comentado en otra entrada la hazaña de Gödel y cómo desde la antigüedad se conocían paradojas autorreferentes (“esta frase es falsa”) que producían muchos dolores de cabeza a los lógicos. Gödel demostró la forma de construir teoremas según los axiomas de la aritmética que eran indemostrables en el mismo sistema. Más aún, podíamos intuir teoremas verdaderos, pero no demostrables.

eniacSi existiera una máquina que pudiera calcular la veracidad o falsedad de una proposición podríamos romper la máquina introduciendo una “frase de Gödel” que el sistema no pudiera resolver. En el libro Godel’s Theorem: An Incomplete Guide To Its Use And Abuse se propone esta curiosa historia:

Le presentan a Gödel la Máquina Universal de la Verdad  (MUV) que es capaz de responder cualquier pregunta de forma lógica. Gödel escribe en un papel “Esta máquina nunca podrá decir que esta frase es verdadera”. Mete la frase en el sistema y le pregunta a la máquina si esa frase es verdadera o falsa.

MUV no puede decir que la frase es verdadera porque implica su contradicción. MUV no puede decir que la frase es falsa porque eso significa que entonces podrá decir que es verdadera. De nuevo contradicción. La única solución lógica para la máquina es permanencer en silencio. Solo entonces la frase es verdadera.

Esto parece indicarnos que nuestra mente puede crear proposiciones que “sabemos” que son verdaderas o falsas, pero que no podemos demostrar mediante reglas lógicas utilizando los axiomas con los que hemos construido esa proposición. ¿Significa esto que nuestra mente utiliza algun tipo de física no-computable, es una trampa del propio sistema de inferencia del lenguaje humano, o el límite impuesto por Gödel para la demostrabilidad de algunos teoremas? En tres palabras: no lo se.

enero 15, 2009 Posted by | filosofía, matemática | Deja un comentario

Momento angular para enamorados

enero 14, 2009 Posted by | otros | Deja un comentario

Arquímedes – puede un petrolero flotar en un litro de agua?

¿Puede un petrolero de 100.000 toneladas flotar en un litro de agua? La respuesta rápida es NO. Lewis Carroll, autor de “Alicia en el Pais de las Maravillas” y matemático a la sazón, le hizo una pregunta similar a su sobrina pero usando cubitos de playa en vez de barcos. Veamos por un momento que es lo que nos cuenta Arquímedes al respecto.

Wikipedia dice sobre el Principio de Arquímedes: “…es un principio físico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desplazado (o desalojado) por dicho objeto.” Todos tenemos la imagen de Arquímedes sumergiéndose en un tonel y desplazando una cantidad de líquido que (eureka!) pesaba lo mismo que él. Moraleja: en los cuerpos flotantes, peso del agua desplazada = empuje hidrostático. Correcto? NO DEL TODO.

¿Dónde esta el problema? En dos cosas: Primero averiguar que quiere decir “agua desplazada” y segundo, darnos cuenta que podemos hacer flotar cualquier cuerpo en un volumen arbitrario de agua siempre que consigamos presión hidrostática suficiente. ¿Y cómo hacemos para conseguir presión hidrostática suficiente con poca agua? Simplemente haciendo que gane altura.

Un cuerpo flota en el agua porque se produce una presión hidrostática en la superficie de la parte sumergida. Esta presión hidrostática solo depende de la densidad del líquido y de la altura (h) de la columna de agua, pero no de su cantidad. Todos pueden realizar un experimento sencillo con dos cajas, cubos, o vasos, uno ligeramente más pequeño que el otro. Se puede hacer que el pequeño flote dentro del grande con una cantidad pequeña de agua permitiendo que el agua suba libremente por las paredes, y siempre que el objeto tenga una densidad inferior a la del agua.

arquimedesEs la altura del líquido que aumenta y produce presión hidrostática la que hace que el cuerpo flote. Obviamente NO hemos desalojado ninguna cantidad de agua equivalente al peso del objeto. De esta manera, con una cantidad arbitrariamente pequeña de agua podríamos teóricamente hacer flotar cualquier objeto pesado, incluso un petrolero de 100.000 toneladas, siempre que su densidad sea inferior a la del agua (en los barcos se cumple, o de lo contrario no flotarían!). En la práctica llegaremos a límites de tipo constructivo por la imposibilidad de hacer un recipiente que se ajuste con tanta precisión al objeto y los límites moleculares del líquido.

En el colegio hemos aprendido el concepto de Arquímedes para un caso particular y observando su efecto, no su causa. Cuando Arquimedes se sumerge en el tonel lleno de agua hasta su borde, puesto que el agua solo puede derramarse y no puede aumentar su altura, cumple la condición de derramar (desplazar, desalojar) un peso de agua equivalente al volumen sumergido. Si volvemos a la imagen del cubo sumergido arriba, el peso en agua del volumen de cubo que queda por debajo de la línea de flotación coincide con el peso del cubo, pero no porque desaloje ningún agua equivalente  en peso, sino porque el líquido sube y aumenta la presión hidrostática.

La causa del empuje es la presión hidrostática, la causa de la presión hidrostática es la gravedad, y la cantidad de agua desplazada es un valor arbitrario que depende de las formas del recipiente y del objeto sumergido.

Cuanto más altura consiga el líquido, menos agua necesitamos para hacer flotar el objeto. Por lo tanto podemos decir que solo hay dos casos ideales donde el objeto SÍ desplaza su peso en agua: en el barreño lleno de agua hasta el tope o en un plano infinito. En ambos casos, por definición, la altura de agua no puede aumentar.

Tal vez algunos pensarán que todo esto es cuestión de semántica (¿qué significa desplazar?) pero Lewis Carroll se hizo la misma pregunta, aunque posiblemente su sobrina le hiciera poco caso. Yo lo que creo es que Arquímedes nos confundió con su famoso baño.

Otras referencias:
http://www.wiskit.com/marilyn/battleship.jpeg
http://www.absoluteastronomy.com/topics/Archimedes_paradox

enero 13, 2009 Posted by | física | 18 comentarios

Jacek Yerka

José Negrete me acaba de enviar un enlace sobre este artista: Jacek Yerka

enero 13, 2009 Posted by | arte | Deja un comentario